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教学课件数学八年级下册湘教版第2章四边形2.5矩形2.5.1矩形的性质在小学，我们初步认识了长方形，观察下图中的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？观察我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.我发现这些四边形的四个角都是直角.在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角.矩形有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.平行四边形有一个角是直角矩形矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道：由于矩形是平行四边形，因此矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.如图，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？ABOCD如图，四边形ABCD是矩形，于是有AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.矩形的对角线相等.思考由此得到矩形的性质：【例1】如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°.求BC的长.ABOCD解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=0.5AC=2cm.∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2cm.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，22224223cm.BCACAB画出一个矩形ABCD（如图），把它剪下来，怎么折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？ABCD思考如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.由于OB=BD=AC=OC，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.1212ABOCDEFMN由于AD∥BC，因此EF⊥AD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.ABOCDEFMN因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴.类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.1.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.答案：两条短边长都为1cm，两条长边长都为cm.3练习2.如图，四边形ABCD为矩形，试利用矩形的性质证明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.ABOCD证明略.通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思我进步2.5.2矩形的判定矩形的四个角都是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.ABCD思考三个角是直角的四边形，容易知道另一个角是直角，所以：三个角是直角的四边形是矩形.四边形中只有两个角是直角，我想到了右边的图形：从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？ABOCD思考过点O画两条线段AC,BD,使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm,如图.这样的矩形有无穷多个.如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？证明在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.又∵∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=90°.∴□ABCD是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：讨论对角线相等的四边形是矩形吗？对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形.如图，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形.【例】如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？ABOCD解（1）∵□ABCD是矩形，∴AC与DB相等且互相平分.∴OB=0.5DB=0.5AC=OC.∴△OBC是等腰三角形.（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，∴AC=2OC=2OB=BD.∴□ABCD是矩形.1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，求证：四边形ABCD是矩形.ABCD证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.练习2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.ABOCD答案：□ABCD的面积为.43通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思我进步