八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质教学课件 （新版）湘教版

教学课件数学八年级下册湘教版第1章直角三角形1.4角平分线的性质回忆旧知角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.新知探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，试问PD与PE相等吗？ABOPC将∠AOB沿OC对折，可以发现PD与PE重合，即PD与PE相等.DE解∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.角平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：OEPDACB思考角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在的内部，作垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在的平分线上吗？AOB,,PDOAPEOBAOB如图，过点O，P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：【例1】如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD平分∠ABC.ABCD12证明：（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC.1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.BAOMN解：如图.P练习2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.求证：AB=AC.ABCDEF证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？CDBAEFMN可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.∵ME⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.同理可得AM是∠CAB的平分线.思考【例2】如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.解∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PEPB，∴BE+PFPB.如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ABC因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图.P思考3.E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.ABOCDE证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，∴CE=DE.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△COE和Rt△DOE中，CE=DE，OE=OE.∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL).∴OC=OD.练习4.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.ABCDE证明：过点C作CF⊥AB于点F.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，且AD⊥DE，BE⊥DE，∴DC=CF，CE=CF.∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL)，Rt△BCE≌Rt△BCF(HL).∴AD=AF，BE=BF.∴AB=AF+BF=AD+BE.通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思我进步