八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学课件 （新版）湘教版

教学课件数学八年级下册湘教版第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2如图，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？探究如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2，是否成立呢？步骤1先剪出4个如图1-11的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中ba），因此它们全等（SAS），所以它们的斜边长相等.设斜边长为c.图1-11我们来进行研究.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12.图1-12步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.图1-13∵△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)2.又∵∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即点D，H，E在一条直线上.图1-13同理，点E，I，F在一条直线上；点F，J，G在一条直线上；点G，K，D在一条直线上.又∵正方形DEFG的面积为c2+，142·ababcab.221()42∴即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.图1-13结论直角三角形的两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2由此得到直角三角形的性质定理：其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.勾股弦图1-14故AD的长为12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？例1图1-15解：在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==5.BC12222213518812.ADABBD∴在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.练习答案：（1）c=；（2）；（3）534b214a.102动脑筋如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图1-16在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，图1-17由勾股定理，得（m）.224151375371AB...由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△中，计算出，则可得出梯子往上移动的距离为（-AB）m.ABCABAB即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.因此=3.87-3.71=0.16（m）.AA在Rt△中，=4m，=1m，故224115387mAB..（）ACABCBC（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问：水深与芦苇长分别为多少？例2宋刻《九章算术》书影在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.如图1-18，设水池的深度为x尺，则AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解：图1-18因为正方形池塘的边长为10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.则x+1=13.1.如图，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？练习解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，2222==2010=10310.CDCBBD∴（海里）（海里）--DCD的距离不在以点C为中心，周围10海里范围内，∴轮船不会触礁.由题意，得AB=30×（海里）.402060在Rt△CBD中，∠BCD=30°，BC=AB=20海里，∴BD=10海里.2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.在下图中，过点D作DM⊥AE，垂足为M.解：M易知四边形MABD为矩形，所以MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理，得DEEMDM22226810(m).所以L=ED+CD=10+（m）.43M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,则DC=2x.由勾股定理，得x2+62=(2x)2，解得x=.23我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.”那么这个定理的逆命题成立吗？探究如图1-19，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？图1-19如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.∵a2+b2=c2，图1-20∴=c.AB如图1-20，作Rt，使∠=90°，=a，=b.ABC△CBCAC在Rt中，根据勾股定理，得2=a2+b2.ABC△AB∴2=c2.AB∴△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形，再根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略.在△ABC和中，∵BC==a，AC==b，AB==c，ABC△BCACAB∴△ABC≌ABC.△∴∠C=∠=90°.C结论如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：，那么这个三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：222abc上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.例3判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴这个三角形是直角三角形.解例4如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102，解即AD2+BD2=AB2，∴△ADB为直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，DC.2217815∴图1-21练习1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.41答：（1）是；（2）不是；（3）是.2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证：△AEF是直角三角形.14证明：由已知可得DF=CF=2，EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，因为AE2=AF2+EF2，所以△AEF是直角三角形.例如图，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）.A.10°B.20°C.30°D.40°B因为6x90，所以x15.又6x180，所以x30.故选B.解此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求出x的值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.分析