2021高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.最新考纲逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型多为选择题，低档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实pqp且qp或q非p真真___真假真假___真假假真假真___假假假______1.简单的逻辑联结词(1)命题中的、、叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断知识梳理且或非真假真假真命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)_______________特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)_______________2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定∀∃∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？概念方法微思考提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p与綈p：真假相反.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题.()(2)命题p和綈p不可能都是真命题.()(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题.()基础自测题组一思考辨析√√×√2.命题“∀x0，都有x2－x＋3≤0”的否定是题组二教材改编A.∃x00，使得x20－x0＋3≤0B.∃x00，使得x20－x0＋30C.∀x0，都有x2－x＋30D.∀x≤0，都有x2－x＋30√解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4√4.下列全称命题中假命题是________.(填序号)①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率.①②④解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.题组三易错自纠5.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√∴m的最小值为1.6.若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____.1解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.典题深度剖析重点多维探究题型突破含有逻辑联结词的命题及其真假题型一自主演练1.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).√2.命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是A.p或qB.p且qC.qD.綈p由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题.解析取x＝π3，y＝5π6，可知命题p是假命题；√3.已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假.其中，正确的是_______.(填序号)解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交.②“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式.(2)判断其中命题p，q的真假.(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.思维升华SIWEISHENGHUA含有一个量词的命题题型二多维探究命题点1全称命题、特称命题的真假例1(1)下列命题中的假命题是A.∀x∈R，2x－10B.∀x∈N*，(x－1)20C.∃x0∈R，lgx01D.∃x0∈R，tanx0＝2√解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.解析幂函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立.(2)已知函数f(x)＝，则A.∃x0∈R，f(x0)0B.∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥012xC.∃x1，x2∈[0，＋∞)，fx1－fx2x1－x20D.∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)f(x2)12x√解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.命题点2含一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为A.∃x0∈R，－x0－1≥0B.∃x0∈R，－x0－10C.∀x∈R，ex－x－10D.∀x∈R，ex－x－1≥0√0ex0ex0ex解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0，故选C.(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0√(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立.(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)下列命题中的真命题是A.∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝B.∀x∈(0，＋∞)，exx＋1C.∃x0∈(－∞，0)，2x03x0D.∀x∈(0，π)，sinxcosx设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)0，即exx＋1，故B正确；当x0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；√32解析∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤232，故A错误；∵当x∈0，π4时，sinxcosx，故D错误.故选B.(2)已知命题p：“∃a00，有a0＋1a02成立”，则命题綈p为解析特称命题的否定是全称命题，所以“∃a00，有a0＋1a02成立”的否定是“∀a0，有a＋1a≥2成立”，故选B.A.∀a≤0，有a＋1a≥2成立B.∀a0，有a＋1a≥2成立C.∃a0≤0，有a0＋1a0≥2成立D.∃a00，有a0＋1a0≥2成立√根据命题的真假求参数的取值范围题型三师生共研例3(1)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么实数a的取值范围为__________________.(－∞，0)∪14，4因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假.解析当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立”⇔a＝0或a0，Δ0，所以0≤a4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤14.若p真q假，则14a4；若p假q真，则a0.综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪14，4.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝-m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是____________.14，＋∞12x解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.引申探究解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，12，＋∞由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是____________.解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，15256，＋∞即不等式x2－5x＋152a0对任意实数x恒成立.设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方.故Δ＝25－4×152a0，解得a56，即实数a的取值范围为56，＋∞.解析由命题p：(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立，可得－2m2，因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－1m2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m－1.(2)已知命题p：(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为_________________________.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)课时精练基础保分练1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√123456789101112131415162.下列命题中，是真命题的全称命题为A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋20B.菱形的两条对角线相等C.∃x0，＝x0D.对数函数在定义域上是单调函数√12345678910111213141516x203.以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x0，使≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，2√12345678910111213141516解析A中锐角三角形的内角