搜索
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.最新考纲命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.命题用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题，其中_______的语句叫做真命题，的语句叫做假命题.判断真假判断为判断为假真知识梳理2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p没有关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.相同若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且q⇏pp是q的条件p⇏q且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件p⇏q且q⇏p3.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.概念方法微思考提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()基础自测题组一思考辨析√×√√2.下列命题是真命题的是A.矩形的对角线相等B.若ab，cd，则acbdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x20，则x1”的逆否命题3.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是______________________________.4.已知△ABC的三边分别为a，b，c，那么“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”是“△ABC为等边三角形”的______条件.题组二教材改编两直线不平行，同位角不√相等充要解析若an＝2n－10，则S4S3，∴充分性不成立.题组三易错自纠5.设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若an＝1n，则{Sn}递增，此时{an}递减，∴必要性不成立.√6.若“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为______.解析由x2－x－60，解得x－2或x3.因为“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，所以{x|xa}是{x|x－2或x3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.3典题深度剖析重点多维探究题型突破命题及其关系题型一自主演练1.命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是A.若xy＝0，则x≠0B.若xy≠0，则x≠0C.若xy≠0，则y≠0D.若x≠0，则xy≠0解析“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”.√①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切.2.已知下列三个命题：其中真命题的序号是________.①③3.命题“若a0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是______.解析当a0时，Δ＝1－4a0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤，显然a0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假.故真命题的个数为2.1424.给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.其中为真命题的是______.(写出所有真命题的序号)①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题.综上①为真命题.(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写.②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.思维升华SIWEISHENGHUA充分、必要条件的判定题型二师生共研A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√例1(1)(2019·皖南八校联考)“1x1”是“ex－11”的解析∵1x1，∴x∈(0,1).∵ex－11，∴x1.∴“1x1”是“ex－11”的充分不必要条件.解析A＝{x|1x4}，B＝{x|a－1xa＋1}.(2)若集合A＝{x|x2－5x＋40}，B＝{x||x－a|1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件∵B⊆A，∴a－1≥1，a＋1≤4，即2≤a≤3，∵(2,3)[2,3]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件.√解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.(3)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则綈p是綈q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.√A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件所以q对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件.(2)设p：12x1，q：log2x0，则p是q的解析由12x1知x0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x0知0x1，√充分、必要条件的应用题型三师生共研例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].本例中，若x∉P是x∉S的必要条件，求m的取值范围.解若x∉P是x∉S的必要条件，则x∉S⇒x∉P，∴x∈P⇒x∈S，∴P⊆S，引申探究1则1－m≤1＋m，1－m≤－2，1＋m≥10，∴m≥9，故m的取值范围是[9，＋∞).若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，引申探究2∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)0，若p是綈q的充要条件，则实数a的值为______.解析綈q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.1由p是綈q的充要条件知a＝1，a＋1＝2，∴a＝1.解析由|2x＋1|m(m0)，得－m2x＋1m，∴－m＋12xm－12，且－m＋120，(2)设p：|2x＋1|m(m0)；q：x－12x－10.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_______.(0,2]由x－12x－10，得x12或x1.∵p是q的充分不必要条件，∴m－12≤12，∴0m≤2.课时精练基础保分练1.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定√12345678910111213141516解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.2.(2019·人大附中阶段考)命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1x1，则x21C.若x1或x－1，则x21D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1√解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1x1”的否定是“x≥1或x≤－1”.123456789101112131415163.已知命题p：若a1，则a21，下列说法正确的是A.命题p是真命题B.命题p的逆命题是真命题C.命题p的否命题是“若a1，则a2≥1”D.命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a1”√12345678910111213141516解析已知命题p：若a1，则a21，如a＝－2，则(－2)21，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a21，则a1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确.故选B.4.命题“若m－1，则m－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为A.1B.2C.3D.4√解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m－4，则m－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.123456789101112131415165.命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是A.若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B.若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C.若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D.若x2＋y2＝0，则x，y都不为0√解析否命题既否定条件又否定结论.123456789101112131415166.“log2(