2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教

§5.2平面向量基本定理及坐标表示1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.最新考纲主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝_________________.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.知识梳理(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝.3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x1y2－x2y1＝01.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.概念方法微思考3.已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若OA→＝xOB→＋yOC→，写出x，y的关系式.提示x＋y＝1.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()基础自测题组一思考辨析×√×(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()√题组二教材改编2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为______.(1,5)解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x，6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝______.解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).由ma＋nb与a－2b共线，mn－12得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.题组三易错自纠4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝______.05.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝__________.(－7，－4)解析根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).6.(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为A.4B.－4C.2D.－2解析b＝2a＋b－2a＝(2,1)，∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.√典题深度剖析重点多维探究题型突破平面向量基本定理的应用题型一师生共研解由题意知，A是BC的中点，例1如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值.解由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且BP→＝2PA→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________.34即P为AB的一个三等分点，如图所示.解析BP→＝2PA→，∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋x2－1AC→.又CP→＝CA→＋AP→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＋x2－1AC→＝t－AC→＋13AB→，又AB→，AC→不共线，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.(1)求3a＋b－3c；例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.平面向量的坐标运算题型二师生共研解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.解∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴M(0,20).(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标.解设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴MN→＝(9，－18).本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？则OP→＝12(OA→＋OB→)，引申探究1解设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，即(x，y)＝12[(－2,4)＋(3，－1)]＝12，32，所以线段AB中点的坐标为12，32.本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？因为CG→＝23CP→，引申探究2解设AB的中点为P，O为坐标原点，所以OG→＝13OC→＋23OP→＝13OC→＋13(OA→＋OB→)，所以OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝－23，－13，所以重心G的坐标为－23，－13.平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.思维升华SIWEISHENGHUAA.(－2,3)B.(2，－3)C.(－2,1)D.(2，－1)跟踪训练2(1)(2019·大连模拟)已知AB→＝(1，－1)，C(0,1)，若CD→＝2AB→，则点D的坐标为√解析设D(x，y)，则CD→＝(x，y－1)，2AB→＝(2，－2)，根据CD→＝2AB→，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x＝2，y－1＝－2，解得x＝2，y＝－1，故选D.A.(6,1)B.(－6，－1)C.(0，－3)D.(0,3)(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，AC→＝(2，－3)，则点D的坐标为√解析AB→＝(－3，－2)，∴AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.命题点1利用向量共线求参数例3(1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x，1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________.向量共线的坐标表示题型三多维探究解析∵a＝(x，1)，b＝(4,2)，且a∥b，∴2x＝4，即x＝2.2(2)(2020·河南开封阶段性考试)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝______.0解析因为2m＋n＝(3λ＋4,4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4·(－λ－3)＝0，解得λ＝0.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ).又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3).即x＝y.方法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3).平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练3(1)已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是A.－23B.－13C.13D.23√解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2).∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.(1，－2)解析∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2).课时精练A.(2,2)B.(－2，－2)C.(1,1)D.(－1，－1)√12345678910111213141516基础保分练1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB→的坐标是解析因为A(2,2)，B(1,1)，所以AB→＝(－1，－1).故选D.2.(2020·巴中模拟)向量AB→＝(2,3)，AC→＝(4,7)，则BC→等于A.(－2，－4)B.(2,4)C.(6,10)D.(－6.－10)√12345678910111213141516解析BC→＝AC→－AB→＝(2,4).故选B