2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理课件 理 新人教A版

§10.3二项式定理会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.最新考纲以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点.本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.二项式定理知识梳理二项式定理(a＋b)n＝_____________________________________(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝________，它表示第______项二项式系数二项展开式中各项的系数C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋CnnbnCknan－kbkk＋1C0n，C1n，…，Cnn2.二项式系数的性质(1)C0n＝1，Cnn＝1，Cmn＋1＝__________.Cmn＝______(0≤m≤n).(2)二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第n＋12项和第n＋32项的二项式系数最大，最大值为或.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝______.12Cnn12Cnn2CnnCm－1n＋CmnCn－mn2n－11.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？概念方法微思考2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)是(a＋b)n的展开式的第k项.()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()基础自测题组一思考辨析Cknan－kbk×√×√2.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于A.80B.40C.20D.10题组二教材改编√解析Tk＋1＝Ck5(2x)k＝Ck52kxk，当k＝2时，x2的系数为C25·22＝40.3.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.120x＋1xn√解析二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ck6·x6－k·1xk＝Ck6x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.4.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为A.9B.8C.7D.6√解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是解析(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为题组三易错自纠A.CmnB.Cm＋1nC.Cm－1nD.(－1)m－1Cm－1n√Tm＝Cm－1n(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为Cm－1n(－1)m－1.6.在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为___.解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.2x2－1xn1在2x2－1x5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.典题深度剖析重点多维探究题型突破多项展开式的特定项题型一命题点1二项展开式问题多维探究例1(1)(2019·天津)2x－18x38的展开式中的常数项为____.28解析二项展开式的通项Tk＋1＝Ck8(2x)8－k－18x3k＝－18k·28－kCk8x8－4k，令8－4k＝0可得k＝2，故常数项为－182×26×C28＝28.(2)(2019·浙江)在二项式的展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是___.当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.(2＋x)91625解析该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck9(2)9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，√则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.(2)(2017·全国Ⅰ)的展开式中x2的系数为A.15B.20C.30D.35故选C.1＋1x2(1＋x)6√解析因为(1＋x)6的通项为Ck6xk，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.命题点3三项展开式问题例3(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为A.10B.20C.30D.60√解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，方法二利用排列组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)展开式中的常数项为A.1B.11C.－19D.51综上所述，常数项为1－20＋30＝11.x－1x＋15√解析x－1x＋15＝x－1x＋15展开式的通项为Tk＋1＝Ck5x－1x5－k当k＝5时，常数项为C55＝1，当k＝3时，常数项为－C12C35＝－20，当k＝1时，常数项为C45C24＝30.(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为A.－3B.－2C.1D.4√解析(x－1)4的通项为Tk＋1＝Ck4x4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C34(－1)3＋C24(－1)2＋C14(－1)＝－2，故选B.(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)12解析通项为Tk＋1＝Ck10x10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7项的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为____.解析方法一(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]592＝C05(1＋2x)5＋C15(1＋2x)4(－3x2)＋C25(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C55(－3x2)5，所以x5的系数为C05C5525＋C15C34×23×(－3)＋C25C13×2×(－3)2＝92.方法二(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为C05C5535＋C15(－1)C4534＋C25(－1)2C3533＋C35(－1)3C2532＋C45(－1)4C1531＋C55(－1)5C0530＝92.二项式系数的和与各项系数的和问题题型二命题点1二项式系数和与系数和解析依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.多维探究例4(1)(2019·郑州一中测试)若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为A.－1B.1C.27D.－27x2－2xn√(2)(2019·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为A.1B.2C.129D.2188解析令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，则a7(1＋x)7＝，解得a7＝－1.故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.C77·30·[－(x＋1)]7√命题点2二项式系数的最值问题例5(2019·马鞍山模拟)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为A.3B.5C.6D.73x＋13xn√要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.解析根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13xn的展开式的通项为Tk＋1＝Ck20·(3x)20－k·13xk＝(3)20－k·Ck20·，4203kx(1)形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可.思维升华SIWEISHENGHUA(2)当n为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第n＋12项和第n＋32项的二项式系数最大，最大值为或.12Cnn2Cnn12Cnn跟踪训练2(1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A.29B.210C.211D.212则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.√解析由题意知C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，(2)(2019·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝___.解析当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.3(3)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于A.5B.6C.7D.8√解析由题意可知，a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，∵13a＝7b，∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m！m＋1！，即137＝2m＋1m＋1，解得m＝6.课时精练基础保分练1.(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在的展开式中，常数项为A.－240B.－60C.60D.240√12345678910111213141516x2－2x6解析x2－2x6的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·(x2)6－k－2xk＝Ck6(－2)kx12－3k，令12－3k＝0得k＝4，即常数项为T5＝C46(－2)4＝240.123456789101112131415162.(2020·秦皇岛模拟)的展开式中x3项的系数为A.80B.－80C.－40D.48令5－2k＝3，得k＝1.√2x－1x5解析2x－1x5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck5(2x