2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列、组合课件 理 新人教A版

§10.2排列、组合1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.最新考纲1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.2.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.排列与组合的概念知识梳理名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照___________排成一列排列有序，组合无序组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)(1)；(2)0！＝1n！n－m！Ann＝n！Cmn＝Amnm！不同排列mnmn组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)Cmn＝Amnm！(1)Cnn＝C0n＝1；(2)Cmn＝Cn－mn；(3)Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n不同组合mn1.排列问题和组合问题的区别是什么？概念方法微思考2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.提示(1)排列数与组合数之间的联系为CmnAmm＝Amn.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式，则x＝m成立.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()基础自测题组一思考辨析Cxn＝Cmn×√×√2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A.144B.120C.72D.24题组二教材改编解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，√因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A.8B.24C.48D.120√解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.解析从4本书中选3本有C34＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A33＝6(种)送法，所以不同的送法有C34A33＝4×6＝24(种).4.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是_____.245.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A.192种B.216种C.240种D.288种所以共有120＋96＝216(种)排法.题组三易错自纠√解析第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为____.30解析分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法.所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种).典题深度剖析重点多维探究题型突破排列问题题型一自主演练1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有A.96个B.78个C.72个D.64个解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有(个)；√A44＝24当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.(A44－A33)＝542.(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是A.3600B.1440C.4820D.4800√解析除甲乙外，其余5个人排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A26种，不同的排法种数是A55A26＝3600(种).3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数是______.4320解析3名女生排在一起，有A33种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A66种排法，故共有A33A66＝4320(种)不同排法.(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.思维升华SIWEISHENGHUA组合问题题型二自主演练1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有____种.(用数字填写答案)16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种.故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种).方法二间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种).2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_____.182解析甲、乙中裁一人的方案有C12C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种).3.从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为_____.解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，596所以有C512－C15C47－C57＝596(种).组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华SIWEISHENGHUA排列与组合的综合问题题型三多维探究命题点1相邻问题例1(2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有A.12种B.24种C.48种D.96种√剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C23A22＝6(种)不同排法，命题点2相间问题例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168√解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例3大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有A.18种B.24种C.36种D.48种√解析根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种.36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有种方法，A22A44将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有种方法.A22A33于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_____种不同的选法.(用数字作答)660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).课时精练基础保分练1.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有A.360种B.480种C.600种D.720种√12345678910111213141516解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600(种)，故选C.123456789101112131415162.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种同理，当丙和乙在甲的右侧时也有9