2021高考数学一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明课件 理

第2课时不等式的证明§13.2不等式选讲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.最新考纲主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.比较法(1)作差比较法已知ab⇔a－b0，ab⇔a－b0，因此要证明ab，只要证明即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由ab0⇔1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明_____即可，这种方法称为作商比较法.知识梳理a－b0abab12.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.1.综合法与分析法有何内在联系？提示综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.()(3)若实数x，y适合不等式xy1，x＋y－2，则x0，y0.()(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.()基础自测a＋b2≥ab.×√√√题组二教材改编2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则的最小值为A.1B.2C.4D.8√所以(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，1a＋1b解析因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，所以1a＋1b≥4a＋b＝2，即1a＋1b的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立).故选B.3.若a，b，m∈R＋，且ab，则下列不等式一定成立的是A.b＋ma＋m≥baB.b＋ma＋mbaC.b＋ma＋m≤baD.b＋ma＋mba√解析因为a，b，m∈R＋，且ab.所以b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m0，即b＋ma＋mba，故选B.题组三易错自纠4.已知a＋b＋c0，ab＋bc＋ac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为A.a0，b0，c0B.a≤0，b0，c0C.a，b，c不全是正数D.abc0√5.若ab1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是A.xyB.xyC.x≥yD.x≤y1a1b√解析x－y＝a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－aab＝a－bab－1ab.由ab1，得ab1，a－b0，所以a－bab－1ab0，即x－y0，所以xy.故选A.6.若a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为A.abcB.acbC.bcaD.cab√解析“分子”有理化得a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6，∴abc.典题深度剖析重点多维探究题型突破用综合法与分析法证明不等式题型一师生共研例1(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x＋≥2y＋3；1x2－2xy＋y2证明因为x0，y0，x－y0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥33x－y2·1x－y2＝3(当且仅当x－y＝1时，等号成立)，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)设a，b，c0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.3证明因为a，b，c0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，所以原不等式成立.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；解依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.(2)若|a|1，|b|1，且a≠0，求证：f(ab)|a|·fba.证明要证f(ab)|a|·fba，只需证|ab－1||b－a|，只需证(ab－1)2(b－a)2.因为|a|1，|b|1，知a21，b21，所以(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)0.故(ab－1)2(b－a)2成立.从而原不等式成立.放缩法证明不等式题型二师生共研例2(1)设a0，|x－1|a3，|y－2|a3，求证：|2x＋y－4|a.证明由a0，|x－1|a3，可得|2x－2|2a3，又|y－2|a3，∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|2a3＋a3＝a.即|2x＋y－4|a.(2)设n是正整数，求证：12≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1.证明由2n≥n＋kn(k＝1,2，…，n)，得12n≤1n＋k1n.当k＝1时，12n≤1n＋11n；当k＝2时，12n≤1n＋21n；…当k＝n时，12n≤1n＋n1n，∴12＝n2n≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12nnn＝1.∴原不等式成立.(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：思维升华SIWEISHENGHUA①变换分式的分子和分母，如1k21kk－1，1k21kk＋1，1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1，上面不等式中k∈N*，k1；②利用函数的单调性；③利用结论，如“若0ab，m0，则aba＋mb＋m.”(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.跟踪训练2设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1).证明|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|2(|a|＋1).柯西不等式拓展视野通过翻阅近几年全国各省市高考数学试题，发现不少题目可以利用柯西不等式来求解，灵活地运用柯西不等式将会使我们的解题变得更为便利.例1函数y＝x－5＋26－x的最大值是A.3B.5C.3D.5√解析根据柯西不等式知，y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5(当且仅当x＝265时取等号).例2设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为.m2＋n25解析根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，当且仅当an＝bm时等号成立，所以m2＋n2的最小值为5.例3已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥13.证明方法一∵a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥13.方法二∵a2＋b2＋c2－13＝a2＋b2＋c2－a＋b＋c23＝13(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥13.方法三∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，即3(a2＋b2＋c2)≥1，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴a2＋b2＋c2≥13.课时精练基础保分练1.(2019·山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区联考)设函数f(x)＝|x－m|＋|x＋n|，其中m0，n0.(1)当m＝1，n＝1时，求关于x的不等式f(x)≥4的解集；解由m＝1，n＝1，得f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝－2x，x－1，2，－1≤x≤1，2x，x1，当x－1时，由－2x≥4得x≤－2；当－1≤x≤1时，2≥4不成立；当x1时，由2x≥4得x≥2，所以f(x)≥4的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞).1234512345(2)若m＋n＝mn，证明：f(x)≥4.证明由m＋n＝mn，可得1m＋1n＝1，f(x)＝|x－m|＋|x＋n|≥|m＋n|，当且仅当(x－m)(x＋n)≤0时取等号.因为m0，n0，所以f(x)≥m＋n＝1m＋1n(m＋n)＝2＋nm＋mn≥4，当且仅当m＝n＝2时等号成立.所以f(x)≥4.123452.(2020·晋冀鲁豫中原名校联考)已知函数f(x)＝x2－|x＋1|－|x－1|.(1)求不等式f(x)≤0的解集A；解①当x－1时，不等式f(x)≤0可化为x2＋(x＋1)－(1－x)≤0，解得－2≤x≤0，故有－2≤x－1；②当－1≤x≤1时，不等式f(x)≤0可化为x2－(x＋1)－(1－x)≤0，解得－2≤x≤2，故有－1≤x≤1；③当x1时，不等式f(x)≤0可化为x2－(x＋1)－(x－1)≤0，解得0≤x≤2，故有1x≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集A为{x|－2≤x≤2}.12345(2)在(1)的条件下，若a，b∈A，求证：2|a＋b|≤|ab＋4|.证明要证2|a＋b|≤|ab＋4|，即证|ab＋4|2≥4|a＋b|2，由|ab＋4|2－4|a＋b|2＝(a2b2＋8ab＋16)－4(a2＋2ab＋b2)＝a2b2－4a2－4b2＋16＝(a2－4)(b2－4).因为a，b∈A，所以a2≤4，b2≤4，所以a2－4≤0，b2－4≤0，所以(a2－4)(b2－4)≥0.所以|ab＋4|2≥4|a＋b|2，故不等式2|a＋b|≤|ab＋4|成立.3.已知函数f(x)＝|x－5|，g(x)＝5－|2x－3|.(1)解不等式f(x)g(x)；12345解由题意得原不等式为|x－5|＋|2x－3|5，等价于x5，x－5＋2x－35或32≤x≤5，5－x＋2x－35或x32，5－x＋3－2x5，解得x∈∅或32≤x3或1x32，综上可得1x3.∴原不等式的解集为{x|1