2021高考数学一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系课件 理

第1课时坐标系§13.1坐标系与参数方程1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.最新考纲会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.知识梳理x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ02.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的，θ称为点M的.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠03.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆______________圆心为(r,0)，半径为r的圆___________________圆心为，半径为r的圆_________________过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)ρ＝r(0≤θ2π)ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2r，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过点(a,0)，与极轴垂直的直线__________________过点，与极轴平行的直线________________a，π2ρcosθ＝a－π2θπ2ρsinθ＝a(0θπ)由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()(4)tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线.()基础自测×√√32，－π3π4×题组二教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4√解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.3.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是A.1，π2B.1，－π2C.(1,0)D.(1，π)√解析方法一由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.1，－π2方法二由ρ＝－2sinθ＝2cosθ＋π2，知圆心的极坐标为1，－π2，故选B.题组三易错自纠4.在极坐标系中，已知点，则过点P且平行于极轴的直线方程是A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝P2，π633√解析先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为.x2＋y2－2y＝0解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.解由ρ＝4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a0).设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝33a，∴B点的坐标为33a，a.又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴33a2＋a2－4a＝0，即43a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.所以a＝3.典题深度剖析重点多维探究题型突破极坐标与直角坐标的互化题型一师生共研例1将直角坐标方程与极坐标方程互化.(1)y2＋x2－2x－1＝0；解将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(2)ρcos2θ2＝1；解因为ρcos2θ2＝1，所以ρ·1＋cosθ2＝1，而ρ＋ρcosθ＝2，所以x2＋y2＋x＝2，化简得y2＝－4(x－1).(3)ρ＝12－cosθ.解因为ρ＝12－cosθ，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此2x2＋y2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；ρcosθ－π3解由ρcosθ－π3＝1得，ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).求曲线的极坐标方程题型二师生共研例2圆心C的极坐标为，且圆C经过极点.(1)求圆C的极坐标方程；2，π4解圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－22(x＋y)＝0，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ).(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.解在圆C的直角坐标方程x2＋y2－22(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－22x＝0，解得x＝0或22.于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(22，0)，由于直线过圆心C(2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝2－02－22(x－22)，即x＋y－22＝0.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－22＝0.求曲线的极坐标方程的步骤(1)将已知条件转化到直角坐标系中.(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程.(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；解设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的标准方程为x2＋y24＝1.(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.解由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线的斜率为k＝12，于是所求直线的方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sinθ－2cosθ.极坐标方程的应用题型三师生共研例3(2019·潮州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，曲线C2：x23＋y2＝1.(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；解由x＝1＋cosα，y＝sinα得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ，由x23＋y2＝1得C2的极坐标方程为ρ2cos2θ3＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝3.(2)射线OT：θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小.π6解联立ρ＝2cosθ，θ＝π6，得|OA|＝2cosπ6＝3，所以点A的极坐标为3，π6，联立ρ2cos2θ3＋ρ2sin2θ＝1，θ＝π6，得|OB|＝2，所以点B的极坐标为2，π6，所以|AB|＝|OA|－|OB|＝3－2.极坐标应用中的注意事项(1)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.(2)在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝.两种特殊情况：①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.思维升华SIWEISHENGHUAρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2跟踪训练3(2019·广东肇庆检测)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝2，曲线C：x＝2cosφ，y＝2＋2sinφ(φ为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M