2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 几何概型课件 理 新人教A版

.§12.2几何概型1.了解几何概型的意义.2.了解日常生活中的几何概型.最新考纲以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查.在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为.2.几何概型概率的计算公式P(A)＝____________________________________________.3.几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有.(2)等可能性：每个结果的发生具有.知识梳理构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积长度面积体积几何概型无限多个等可能性1.古典概型与几何概型有什么区别？概念方法微思考2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.()基础自测题组一思考辨析√√××A.12B.13C.14D.12.在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为题组二教材改编解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，√故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是∴P(A)P(C)＝P(D)P(B).√解析∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，A.π4B.π－22C.π6D.4－π44.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.0≤x≤2，0≤y≤2√AC因此满足条件的概率是4－π4，故选D.A.43B.83C.23D.无法计算题组三易错自纠5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为√解析设阴影部分的面积为S，由几何概型可知S4＝23⇒S＝83.236.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________.解析设AC＝xcm(0x12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形的面积S＝x(12－x)＝12x－x2(cm2).由12x－x232，即(x－8)(x－4)0，解得0x4或8x12.在数轴上表示，如图所示.23由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.典题深度剖析重点多维探究题型突破1.(2020·太原模拟)设x∈[0，π]，则sinx12的概率为A.16B.14C.13D.12与长度(角度)有关的几何概型题型一自主演练√解析由sinx12且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈0，π6∪5π6，π，∴P＝π6×2π－0＝13.2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.16解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16.3.(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是______.解析设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，6＋x－x259∴P(A)＝59.4.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________.解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝10＋1040＝12.12求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华SIWEISHENGHUA例1(2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3命题点1与平面图形有关的几何概型与面积有关的几何概型题型二多维探究√解析∵S△ABC＝12AB·AC，以AC为直径的半圆的面积为12π·AC22＝π8AC2，以AB为直径的半圆的面积为12π·AB22＝π8AB2，以BC为直径的半圆的面积为12π·BC22＝π8BC2，∴SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝π8AB2＋π8AC2－π8BC2－12AB·AC∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝SⅠS总，p2＝SⅡS总.＝12AB·AC.∴p1＝p2.故选A.例2在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是A.1225B.1625C.1725D.1825命题点2与简单的线性规划有关的几何概型√满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即0x1，0y1，x＋y65确定的平面区域，则试验所有的基本事件构成的区域即0x1，0y1确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.解析设这两个数是x，y，A.16B.13C.14D.π－24例3(2019·江淮十校联考)如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为命题点3与定积分有关的几何概型√故点落在阴影部分的概率为P＝S′SABCD＝132＝16.解析以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝1，BC＝2，则B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，阴影部分面积为S′＝12×2×1－x2dx＝1－13x3＝13，1111又矩形ABCD的面积为SABCD＝1×2＝2，(1)与平面几何有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.(2)与简单线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解.(3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.思维升华SIWEISHENGHUAA.4nmB.2nmC.4mnD.2mn跟踪训练1(1)在区间[0,1]上随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为√解析由题意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影区域(不包含边界)中，即以1为半径的14圆中.由几何概型概率计算公式知π41＝mn，所以π＝4mn.(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.34解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮，通电y秒后第二串彩灯闪亮.依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知，符合要求的S′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴由几何概型的概率公式得P＝S′S＝1216＝34.(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________.2e2解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2ʃ10(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.与体积有关的几何概型题型三师生共研例4(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB90°的概率为A.π24B.π12C.π8D.π6√解析以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P＝π38＝π24.(2)(2020·山西临汾一中月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为______.解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设四棱锥M－ABCD的高为h，当13×S四边形ABCD×h＝16时，又S四边形ABCD＝1，1612∴h＝12.若四棱锥M－ABCD的体积小于16，则h12，即点M在正方体内且到四边形ABCD所在平面的距离小于12，∴P＝121＝12.求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.思维升华SIWEISHENGHUAA.6πB.32πC.3πD.233π跟踪训练2在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝32，球的体积V2＝43π×323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P＝V1V2＝233π.√课时精练基础保分练1.(2020·衡水调研)在区间(0,100)内任取一数x，则lgx1的概率为A.0.1B.0.5C.0.8D.0.9√12345678910111213141516解析由lgx1，得x10，所以所求概率为P＝100－10100＝0.9.2.在区间[0，π]上随机取一个数x，使cosx的值介于－32与32之间的概率为A.13B.23C.38D.58√12345678910111213141516解析cosx的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－