§7.5推理与证明1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,掌握演绎推理的“三段论”,并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.5.了解反证法的思考过程和特点.6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.最新考纲推理部分以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主,常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题,在高考中以填空题的形式进行考查,属于中低档题.证明部分常以立体几何中的证明及相关选修内容中不等式的证明为载体加以考查,在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.合情推理知识梳理类型定义特点归纳推理根据某类事物的对象具有某些特征,推出该类事物的对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理由到、由到_____类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理由到_____部分全部部分一般特殊特殊整体个别2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.特殊3.直接证明(1)综合法①定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.推理论证②框图表示:P⇒Q1――→Q1⇒Q2――→Q2⇒Q3――→…――→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论).③思维过程:由因导果.(2)分析法①定义:一般地,从出发,逐步寻求使它成立的,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.②框图表示:要证明的结论充分条件Q⇐P1――→P1⇐P2――→P2⇐P3――→…――→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论).③思维过程:执果索因.4.间接证明反证法:一般地,假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明的证明方法.5.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.不成立矛盾原命题成立第一个值n0n=k+11.合情推理所得结论一定是正确的吗?概念方法微思考提示合情推理所得结论是猜想,不一定正确,用演绎推理能够证明的猜想是正确的,否则不正确.2.综合法与分析法的推理过程有何区别?提示综合法是执因索果,分析法是执果索因,推理方式是互逆的.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.()(3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(4)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”.()基础自测题组一思考辨析×√××2.已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是A.an=3n-1B.an=4n-3C.an=n2D.an=3n-1题组二教材改编解析a2=a1+3=4,a3=a2+5=9,a4=a3+7=16,a1=12,a2=22,a3=32,a4=42,猜想an=n2.√3.在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为________________________________.b1b2…bn=b1b2…b17-n(n17,n∈N*)解析利用类比推理,借助等比数列的性质,b29=b1+n·b17-n,可知存在的等式为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n17,n∈N*).4.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确题组三易错自纠√解析f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误.解析方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A.5.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根√∴当n=k+1时,不等式成立.则上述证法A.过程全部正确B.n=1验证的不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确6.对于不等式n2+nn+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,k+12+k+1=k2+3k+2k2+3k+2+k+2=k+22=(k+1)+1.√解析在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.典题深度剖析重点多维探究题型突破合情推理与演绎推理命题点1归纳推理题型一多维探究例1分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内去掉小三角形个数为A.81B.121C.364D.1093√解析由图可知,每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1,所以,n=1时,a1=1;n=2时,a2=3+1=4;n=3时,a3=3×4+1=13;n=4时,a4=3×13+1=40;n=5时,a5=3×40+1=121;n=6时,a6=3×121+1=364,故选C.命题点2类比推理例2在平面上,设ha,hb,hc是△ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:=1.把它类比到空间中,则三棱锥中的类似结论为___________________.Paha+Pbhb+PchcPaha+Pbhb+Pchc+Pdhd=1解析设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论:Paha+Pbhb+Pchc+Pdhd=1.命题点3演绎推理例3数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n∈N*).证明:(1)数列Snn是等比数列;∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.证明∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,∴Sn+1n+1=2·Snn,又S11=1≠0,(小前提)故Snn是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)Sn+1=4an.证明由(1)可知Sn+1n+1=4·Sn-1n-1(n≥2),∴Sn+1=4(n+1)·Sn-1n-1=4·n-1+2n-1·Sn-1=4an(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号.②与式子有关的推理.观察每个式子的特点,注意纵向对比,找到规律.③与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差与等比数列类比;运算类比(加与乘,乘与乘方,减与除,除与开方).数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.(3)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题,应当首先明确什么是大前提和小前提.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,…,根据以上式子可以猜想:1+122+132+…+120202________.40392020解析由题意得,不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数,所以猜想的分母是2020,分子是一个以3为首项,2为公差的等差数列中的项,所以a2019=3+(2019-1)×2=4039.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家,他在5世纪末提出:“幂势即同,则积不容异”,意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图①是一个半径为R的半球体,图②是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在xOy坐标系中,设抛物线C的方程为y=1-x2(-1≤x≤1),将曲线C围绕y轴旋转,得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为A.π3B.π2C.2π3D.3π4√解析构造如图所示的直三棱柱,高设为x,底面两个直边长为2,1,若底面积相等得到,2x=π×12,x=π2.下面说明截面面积相等,设截面距底面为t,矩形截面长为a,圆形截面半径为r,由左图得到,a2=1-t1,∴a=2(1-t),∴截面面积为2(1-t)×π2=(1-t)π,由右图得到,t=1-r2(坐标系中易得),∴r2=1-t,∴截面面积为(1-t)π,∴二者截面面积相等,∴体积相等.∴抛物体的体积为V三棱柱=Sh=12×2×1×π2=π2.故选B.(3)某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是A.今天是周六B.今天是周四C.A车周三限行D.C车周五限行√解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,不是周五,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周二和周六,所以今天是周四.故选B.直接证明与间接证明题型二多维探究例4已知a,b,c0,a+b+c=1.求证:命题点1综合法(1)a+b+c≤3;证明∵(a+b+c)2=(a+b+