2021高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 基本不等式及其应用课件 理 新人教A版

§7.4基本不等式及其应用1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.最新考纲主要考查利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R).(2)≥(a，b同号).(3)ab≤_______(a，b∈R).(4)≥_______(a，b∈R).知识梳理ab≤a＋b2a0，b0a＝b2ab2ba＋aba＋b22a2＋b22a＋b22以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最值.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最值.(简记：和定积最大)x＝y小a＋b2ab2px＝yp24大1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？概念方法微思考提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.2.函数y＝x＋1x的最小值是2吗？提示不是.因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()×(2)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.()×(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).()√(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()×2.设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80B.77C.81D.82题组二教材改编解析∵x0，y0，√∴x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题组三易错自纠4.“x0”是“x＋1x≥2成立”的√解析当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2.因为x，1x同号，所以若x＋1x≥2，则x0，1x0，所以“x0”是“x＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.解析当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.5.若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于A.1＋2B.1＋3C.3D.4√解析由3x＋y＝5xy，得3x＋yxy＝3y＋1x＝5，6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是A.2B.3C.4D.5√所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x＝154＋9＋3yx＋12xy≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3yx＝12xy，即x＝12，y＝1时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.典题深度剖析重点多维探究题型突破利用基本不等式求最值命题点1配凑法题型一多维探究例1(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.23解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号.(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________.解析因为x54，所以5－4x0，1则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，取等号.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(3)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x－1)，则A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4√解析f(x)＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2因为x－1，所以x＋10，－(x＋1)0，＝－(x＋1)＋1－x＋1＋2.所以f(x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－x＋1，即x＝－2时，等号成立.故f(x)有最小值4.命题点2常数代换法例2若正数m，n满足2m＋n＝1，则1m＋1n的最小值为A.3＋22B.3＋2C.2＋22D.3√解析因为2m＋n＝1，则1m＋1n＝1m＋1n·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，当且仅当n＝2m，即m＝2－22，n＝2－1时等号成立，所以1m＋1n的最小值为3＋22，故选A.命题点3消元法例3已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.6解析方法一(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，因为x0，y0，所以x＋3y≥23xy，所以3xy≤x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y1＋y1＋y＝9＋3y21＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥231＋y·121＋y－6＝12－6＝6，所以x＋3y的最小值为6.当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·天津)设x0，y0，x＋2y＝5，则x＋12y＋1xy的最小值为________.43解析x＋12y＋1xy＝2xy＋2y＋x＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy.由x＋2y＝5得5≥22xy，即xy≤524，即xy≤258，当且仅当x＝2y＝52时等号成立.所以2xy＋6xy≥22xy·6xy＝43，当且仅当2xy＝6xy，即xy＝3时取等号，结合xy≤258可知，xy可以取到3，故x＋12y＋1xy的最小值为43.(2)(2019·天津模拟)已知a0，b0，c0，若点P(a，b)在直线x＋y＋c＝2上，则4a＋b＋a＋bc的最小值为________.2＋22解析∵P(a，b)在x＋y＋c＝2上，∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c0，4a＋b＋a＋bc＝42－c＋2－cc＝42－c＋2c－1，设2－c＝m，c＝n，则m＋n＝2，42－c＋2c＝4m＋2n＝m＋n2×4m＋2n＝3＋2nm＋mn≥3＋22nm×mn＝3＋22，∴42－c＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22，即4a＋b＋a＋bc的最小值为2＋22.当且仅当m2＝2n2，即c＝22－2时，等号成立，基本不等式的综合应用题型二多维探究例4设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________.命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题Sn＋8an92解析an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n2，所以Sn＋8an＝n1＋n2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号，所以Sn＋8an的最小值是92.命题点2求参数值或取值范围例5已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2B.4C.6D.81x＋ay√只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B.求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋bab的最小值是A.10B.9C.8D.32√解析由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以8a＋bab＝1a＋8b＝121a＋8b(2a＋b)＝1210＋ba＋16ab≥1210＋2ba·16ab＝12(10＋8)＝9，当且仅当ba＝16ab，即a＝13，b＝43时等号成立，所以8a＋bab的最小值为9，故选B.(2)在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为A.32B.334C.32D.53√解析由△ABC的面积为2，所以S＝12bcsinA＝12bcsinπ6＝2，得bc＝8，在△ABC中，由正弦定理得2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC＝2cc＋2b＋bc＝2·8b8b＋2b＋b8b＝168＋2b2＋b28＝84＋b2＋b2＋48－12≥284＋b2·b2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.基本不等式的实际应用题型三师生共研例6(1)(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.30一年的总存储费用为4x万元.解析一年的总运费为6×600x＝3600x(万元).总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元.因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.(2)某人准备在一块占地面积为1800m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为Sm2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________.1568解析由题意可得xy＝1800，b＝2a，x3，y3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y＝1808－3x－83×1800x＝1808－3x＋4800x≤1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1568.利