2021高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.最新考纲以线性、非线性目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识.在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中低档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.二元一次不等式(组)表示的平面区域知识梳理不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括__________Ax＋By＋C≥0包括__________不等式组各个不等式所表示平面区域的__________边界直线边界直线公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的___________线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的解_______可行域所有可行解组成的_____最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题不等式(组)一次一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值概念方法微思考1.不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定.最优解是可行解中的一个或多个.最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.()(2)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()基础自测题组一思考辨析√×(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()√×题组二教材改编解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋20表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.2.不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋20表示的平面区域是√3.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900，x≥0，y≥0所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.解析用表格列出各数据.AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.题组三易错自纠4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2，－3)√5.(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为____.6由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x，平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示.6.已知x，y满足x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_____.－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.典题深度剖析重点多维探究题型突破二元一次不等式(组)表示的平面区域题型一师生共研例1(1)(2020·汉中质检)不等式组x＋y－2≤0，x－y－1≥0，y≥0所表示的平面区域的面积等于_____.14解析不等式组x＋y－2≤0，x－y－1≥0，y≥0所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，通过右图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组x＋y－2＝0，x－y－1＝0，解得A点坐标为32，12，点B坐标为(1,0)，点C坐标为(2,0)因此S△ABC＝12×(2－1)×12＝14，所以不等式组x＋y－2≤0，x－y－1≥0，y≥0所表示的平面区域的面积等于14.(2)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是A.a≥43B.0a≤1C.1≤a≤43D.0a≤1或a≥43√解析作出不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示.且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l3：x＋y＝43.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).即a的取值范围是0a≤1或a≥43.平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状.(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1在平面直角坐标系中，不等式组3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0表示的平面区域的面积是A.32B.3C.2D.23√解析不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3，故选B.求目标函数的最值问题题型二多维探究命题点1求线性目标函数的最值例2(2019·天津市河西区新华中学模拟)设变量x，y满足约束条件x≥1，x－2y＋3≥0，x－y≥0，则目标函数z＝2x－y的最小值为A.－1B.0C.1D.3√解析由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z＝2x－y变为y＝2x－z，当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大，由x＝1，y＝x得A(1,1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选C.命题点2求非线性目标函数的最值例3(1)已知实数x，y满足x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1，则z＝yx＋2的取值范围是________.23，76解析作出不等式组x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C1，72，D(2,3)，yx＋2的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2,0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为23，直线PC的斜率为76，由图可知z＝yx＋2的取值范围是23，76.(2)(2019·保定模拟)设变量x，y满足约束条件x≥0，y≥0，3x＋y－3≤0，x－3y＋3≥0，则目标函数z＝x2＋y2的最大值是A.355B.65C.1D.95√解析作出不等式组x≥0，y≥0，3x＋y－3≤0，x－3y＋3≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得区域的顶点分别为A(1,0)，B35，65，C(0,1)，因为z＝x2＋y2＝(x2＋y2)2，它表示区域内的点(x，y)到原点距离的平方，计算A，B，C三点到原点的距离分别为1,352＋652＝95，1，所以点B35，65到原点的距离最大，所以z＝x2＋y2的最大值是952＝95.故选D.命题点3求参数值或取值范围例4(2019·河南省八市重点高中联考)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是A.(－∞，3]B.[1,3]C.(－∞，2)D.(2，＋∞)√解析不等式1≤y≤x＋y≤ax＋3等价于y≥1，x＋y≥y，x＋y≤ax＋3，化简得y≥1，x≥0，y≤a－1x＋3，设z＝y－2x，则y＝2x＋z，且z的最大值是3，由图形知，a－1≤2，解得a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3].常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.思维升华SIWEISHENGHUA(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.跟踪训练2(1)(2019·安徽省定远中学模拟)若实数x，y满足不等式组x＋2y－3≥0，2x＋y－3≥0，x＋y－3≤0，则2x＋3y的最小值为A.4B.5C.6D.7√解析画出不等式组x＋2y－3≥0，2x＋y－3≥0，x＋y－3≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，令z＝2x＋3y，则y＝－23x＋13z，分析知，当x＝1，y＝1时，z取得最小值，且zmin＝2＋3＝5.故选B.(2)(2019·天津市和平区质检)设x，y满足约束条件x－y－2≤0，2x－y＋3≥0，x＋y≤0，则y＋4x＋6的取值范围是A.－13，1B.[－3,1]C.(－∞，－3)∪(1，＋∞)D.－37，1√目标函数z＝y＋4x＋6表示可行域内的点与点P(－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点C(－1,1)处取得最大值为1＋4－1＋6＝1，解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数在点A(－5，－7)处取得最小值为－7＋4－5＋6＝－3，故目标函数的取值范围是[－3,1].故选B.(3)(2019·绍兴模拟)已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于A.7B.5C.4D.1√联立直线方程y＝2x－1，y＝－x＋m，可得交点坐标为Am＋13，2m－13，解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，所以m＋13－2m－13＝－1，解得m＝5.故选B.由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，课时精练基础保分练123456789101112131415161.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为A.(－24,7)B.(－7,24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)0，即(a＋7)(a－24)0，解得－7a24.√2.在平面直角坐标系中，不等式组x≥0，x＋y≤2，x≤y所表示的平面区域的面积为A.1B.2C.4D.8解析不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，12345678910111213141516√则面积为12×2×1＝1.3.(2019·天津市芦台一中模拟)若x，y满足约束条件2x＋y－2≤0，3x－