2021高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教

§7.2一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.最新考纲以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式的解集知识梳理b2aax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅∅xx≠－b2a概念方法微思考1.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集.()基础自测题组一思考辨析√××√题组二教材改编2.已知集合A＝{x|x2－x－60}，则∁RA等于A.{x|－2x3}B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x－2或x3}D.{x|x≤－2或x≥3}√解析∵x2－x－60，∴(x＋2)(x－3)0，∴x3或x－2，即A＝{x|x3或x－2}.在数轴上表示出集合A，如图所示.由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}.故选B.解析由题意，得3x2－2x－20，3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________________________.－∞，1－73∪1＋73，＋∞令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，得－4x1.题组三易错自纠4.不等式－x2－3x＋40的解集为________.(用区间表示)(－4,1)5.若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝______.－14解析∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.6.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.当a＝2时，原式化为－40，不等式恒成立，∴－2a≤2.即实数a的取值范围是(－2,2].解析当a－2≠0时，由a－20，Δ0，得－2a2；(－2,2]典题深度剖析重点多维探究题型突破一元二次不等式的求解题型一多维探究命题点1不含参的不等式例1(2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－4x5}，则下列选项中正确的是A.－1.2∈AB.30.9∉AC.log230∈AD.A∩N＝{1,2,3,4}√解析因为A＝{x|－1x5}，－1.2∉A，所以选项A错误；130.93,30.9∈A，所以选项B错误；0log230log232＝5，log230∈A，所以选项C正确；A∩N＝{0,1,2,3,4}，所以选项D错误.故选C.命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0).解原不等式变为(ax－1)(x－1)0，因为a0，所以x－1a(x－1)0.所以当a1时，解得1ax1；当0a1时，解得1x1a.当a＝1时，解集为∅；综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－30的解集为A.{x|x－3或x1}B.{x|x－1或x3}C.{x|－1x3}D.{x|－3x1}解析由x2＋2x－30得(x＋3)(x－1)0，解得－3x1.故选D.√(2)已知不等式ax2－bx－10的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是______________.{x|x≥3或x≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.x－12x－13(3)解不等式12x2－axa2(a∈R).解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；解原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.一元二次不等式恒成立问题题型二多维探究命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.解当m＝0时，f(x)＝－10恒成立.当m≠0时，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.综上，－4m≤0，故m的取值范围是(－4,0].命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围.即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立.解要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下两种方法：方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3].当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，综上所述，m的取值范围是mm67.所以g(x)max＝g(1)，即m－60，所以m6，所以m0.方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m67即可.所以m的取值范围是mm67.若将“f(x)5－m恒成立”改为“f(x)5－m无解”，如何求m的取值范围？引申探究1解若f(x)5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，即m≥6x2－x＋1恒成立，又x∈[1,3]时，6x2－x＋1max＝6，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞).若将“f(x)5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)5－m成立”，如何求m的取值范围？引申探究2解由题意知f(x)5－m有解，即m6x2－x＋1有解，则m6x2－x＋1max，又x∈[1,3]，得m6，即m的取值范围为(－∞，6).命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2－mx－10对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2－x－10，2x2－2x－10，解得1－32x1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2].(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x＝－a2.当－a2－2，即a4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤73，舍去；当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g－a2＝－a24－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；当－a22，即a－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，∴－7≤a－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.解令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.只需h4≥0，h6≥0，即x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).一元二次方程根的分布情况拓展视野设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x10，x20)两个正根即两根都大于0(x10，x20)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x10x2)大致图象(a0)得出的结论f(0)0Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，f00大致图象(a0)得出的结论f(0)0综合结论(不讨论a)a·f(0)0Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，a·f00Δ0，－b2a0