2021高考数学一轮复习 第六章 数列 高考专题突破三 高考中的数列问题课件 理 新人教A版

高考专题突破三高考中的数列问题等差数列、等比数列基本量的运算题型一多维探究命题点1数列与数学文化例1(1)(2019·乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？A.1631B.1629C.12D.815√解析由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d.又S30＝30×5＋30×292×d＝390，解得d＝1629.故选B.(2)(2019·北京市房山区模拟)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天√莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.解析设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为12，其前n项和为An，则An＝31－12n1－12＝61－12n.则Bn＝2n－12－1＝2n－1，由题意可得，61－12n＝2n－1，整理得，2n＋62n＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去).∴n＝log26＝lg6lg2＝1＋lg3lg2≈2.6.∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天.故选C.对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·湖南省长沙市第一中学模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺√解析设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}，Sn是其前n项和，则S9＝9a1＋a92＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5，故选B.A.253升B.503升C.507升D.1007升(2)(2019·江西省抚州市临川第一中学模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟√解析因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50，则a123－12－1＝50，解得a1＝507，所以马主人要偿还的量为a2＝2a1＝1007.故选D.命题点2等差数列、等比数列的交汇例2记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；解设{an}的公比为q.由题设可得a11＋q＝2，a11＋q＋q2＝－6.解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.解由(1)可得Sn＝a11－qn1－q＝－23＋(－1)n2n＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23＝2－23＋－1n2n＋13＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(2019·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d.由题意可知2S3＝S1＋1＋S4，a22＝a1a5，d≠0，整理得a1＝1，d＝2a1，即a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.解由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，又S4Sn＝S26，∴n2＝36216＝81，∴n＝9，公比q＝S6S4＝94.数列的求和题型二多维探究命题点1分组求和与并项求和例3(2019·湖南省张家界慈利县期中)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝3，b3＝9，可得q＝b3b2＝3，所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1，又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以d＝a14－a114－1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.解由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，则数列{cn}的前n项和为[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)＝n1＋2n－12＋1－3n1－3＝n2＋3n－12.命题点2错位相减法求和例4(2019·安徽省合肥一中、安庆一中等六校联考)设等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10.(1)令Tn＝a1a2a3…an，求Tn的最大值；解设等比数列{an}首项为a1，公比为q，所以a1＋a1q2＝20，a1q＋a1q3＝10，解得a1＝16，q＝12，所以an＝12n－5，当an＝12n－5≥1时，解得n≤5，所以a1a2a3a4a5＝1a6a7…，所以Tn的最大值为T4＝T5＝16×8×4×2＝1024.(2)令bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Sn.则an·bn＝(5－n)·12n－5，Sn＝4·12－4＋3·12－3＋…＋(5－n)·12n－5，两边同时乘12得，12Sn＝4·12－3＋3·12－2＋…＋(5－n)·12n－4，两式相减得，12Sn＝4·12－4－12－3＋…＋12n－5－(5－n)·12n－4＝4×16－12－31－12n－11－12－(5－n)·12n－4解由(1)知bn＝log2an＝log212n－5＝5－n，＝64－161－12n－1－(5－n)·12n－4＝48＋(n－3)·12n－4，所以Sn＝96＋(n－3)·25－n.命题点3裂项相消法求和例5(2020·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝＋3an＋2(t∈R).(1)求数列{an}的通项公式；a2n解因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a2n＋3an＋2，所以(t＋1)S1＝a21＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝a2n＋3an＋2.①当n≥2时，有6Sn－1＝a2n－1＋3an－1＋2，②①－②得6an＝a2n＋3an－a2n－1－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因为an0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2(n∈N*).(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列12bn＋7n的前n项和Tn.＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝3n2－n2.又b1＝1也适合上式，所以bn＝3n2－n2(n∈N*).解因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1所以12bn＋7n＝13n2－n＋7n＝13·1nn＋2＝16·1n－1n＋2，＝16·32－1n＋1－1n＋2，＝3n2＋5n12n＋1n＋2.所以Tn＝16·1－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.思维升华SIWEISHENGHUA证明∵a1＝12，an＋1＝n＋12nan，当n∈N*时，ann≠0，又a11＝12，an＋1n＋1∶ann＝12(n∈N*)为常数，跟踪训练3(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an＋1＝n＋12nan(n∈N*).①证明：数列ann是等比数列；∴ann是以12为首项，12为公比的等比数列.②求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解由ann是以12为首项，12为公比的等比数列，得ann＝12·12n－1，∴an＝n·12n.∴Sn＝1·12＋2·122＋3·123＋…＋n·12n，12Sn＝1·122＋2·123＋…＋(n－1)12n＋n·12n＋1，∴两式相减得12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n·12n＋1＝12－12n＋11－12－n·12n＋1，∴Sn＝2－12n－1－n·12n＝2－(n＋2)·12n.综上，an＝n·12n，Sn＝2－(n＋2)·12n.(2)(2019·天津市南开区模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.①求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；12n－1∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1，解∵Sn＝－an－12n－1＋2(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝－an－1－12n－2＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋12n－1，化为2nan＝2n－1an－1＋1，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝12.又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝n2n.②设cn＝nn＋12nn－ann＋1－an＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn12463(n∈N*)的n的最大值.解由①可得cn＝nn＋12nn－n2n