2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 强化训练 椭圆、双曲线、抛物线综合课件 理 新人教A

强化训练椭圆、双曲线、抛物线综合1.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1基础保分练√1234567891011121314151612345678910111213141516故a2＋b2＝7，解析由题意知点(2，3)在渐近线y＝bax上，所以ba＝32，又因为抛物线的准线为x＝－7，所以c＝7，所以a＝2，b＝3.故双曲线的方程为x24－y23＝1.A.y＝±12xB.y＝±3xC.y＝±33xD.y＝±32x2.(2019·兰州模拟)已知双曲线＝1(a0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线是√12345678910111213141516解析由题意，抛物线的焦点为(2,0)，所以双曲线中c＝2，所以a＝1，x2a2－y23所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x.A.x24－y28＝1B.x24－y24＝1C.x24－y2＝1D.x24－y212＝13.已知椭圆C：＝1，则下列双曲线的离心率与C的离心率互为倒数的是√12345678910111213141516x23＋y24所以双曲线的离心率为2，12345678910111213141516解析因为椭圆x23＋y24＝1的离心率为12，A选项中双曲线的离心率为3；B选项中双曲线的离心率为2；C选项中双曲线的离心率为52；D选项中双曲线的离心率为2.∴e＝1＋ba2＝2.A.2B.233C.3D.24.双曲线C：＝1(a0，b0)的一个焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点(异于原点O)，若四边形OAFB为菱形，则双曲线C的离心率等于√12345678910111213141516依题意知△OFB是正三角形，x2a2－y2b2a2＋b2∴∠BOF＝60°，∴ba＝3，解析∵c＝a2＋b2，∴圆F过原点O，代入双曲线C1：x22－y22＝1，得－p222－1＝1，∴p＝4.5.(2020·郑州质检)双曲线C1：＝1与抛物线C2：y2＝2px(p0)的准线交于A，B两点，若|AB|＝，则p等于A.2B.4C.6D.8√12345678910111213141516解析设A在x轴上方，x22－y2222由题意知点A坐标为－p2，2，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝27，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝27，∴点Q的轨迹是以F1(－2,0)为圆心，27为半径的圆.故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝28.6.设P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为A.(x－2)2＋y2＝28B.(x＋2)2＋y2＝7C.(x＋2)2＋y2＝28D.(x－2)2＋y2＝712345678910111213141516√x27＋y23解析由题易知a＝7，c＝2，A.2B.－3＋624C.3D.3＋627123456789101112131415167.设双曲线C：＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为√x2a2－y2b2∴e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF2|－|PF1|＝|NF2||MF2|－|MN|＝3r22r－r＝62＋37.12345678910111213141516解析如图所示，设OF1的中点为N，圆N与PF2的切点为M，圆N的半径为r，则|F1N|＝|ON|＝|MN|＝r，|OF2|＝c＝2r，在Rt△F2MN中，由勾股定理得|MF2|＝NF2－MN2＝22r，由题意得PF1⊥PF2，则易得△MF2N∽△PF2F1，A.22B.1C.2D.2123456789101112131415168.已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为√于是＝12|F1F2|×|x0|＝12×22×1＝2.12PFFS12345678910111213141516解析设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，2)，F2(0，－2)，所以|F1F2|＝22，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x20＋y20＝2.由x0－y0＝0，x20＋y20＝2，得|x0|＝1，9.若抛物线y2＝2px(p0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.1234567891011121314151622解析抛物线y2＝2px(p0)的准线方程为x＝－p2(p0)，故直线x＝－p2过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p＝22.1234567891011121314151610.(2019·呼和浩特模拟)已知抛物线y2＝2mx(m0)的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，则m＝____.6解析由题意可知圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，即(x－1)2＋(y－t)2＝16，可得弦AB的中点的横坐标为1，圆的半径为4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，所以x1＋x2＋m＝8，可得m＝6.1234567891011121314151611.(2019·哈尔滨模拟)已知A，B为双曲线＝1(a0，b0)的左、右顶点，过点B与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_________.x2a2－y2b2(2，＋∞)∴b2a23，∴离心率e＝1＋b2a22.12345678910111213141516解析已知双曲线的两条渐近线为y＝±bax，不妨设直线PB：y＝ba(x－a)，与另一条渐近线联立y＝bax－a，y＝－bax可得Pa2，－b2.由点P在以线段AB为直径的圆外，可得PA→·PB→0，即－32a·12a＋12b·12b＝－34a2＋14b20，1234567891011121314151612.(2018·北京)已知椭圆M：＝1(a＞b＞0)，双曲线N：＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为_____.x2a2＋y2b2x2m2－y2n23－12由y＝3x，x2a2＋y2b2＝1，得x2＝a2b23a2＋b2.∴4a2b23a2＋b2＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，12345678910111213141516解析方法一双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3，∴双曲线N的离心率e1满足e21＝1＋n2m2＝4，∴e1＝2.如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.12345678910111213141516∴3－6b2a2－b2a22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M的离心率e2满足e22＝1－b2a2＝4－23.∴e2＝3－1.方法二双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3.又c1＝m2＋n2＝2m，∴双曲线N的离心率为c1m＝2.12345678910111213141516又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，∴a＝1＋32.∴椭圆M的离心率为c2a＝21＋3＝3－1.技能提升练1234567891011121314151613.已知双曲线＝1(a0)的一条渐近线方程为，左焦点为F，当点M在双曲线右支上、点N在圆x2＋(y－3)2＝4上运动时，|MN|＋|MF|的最小值为A.9B.7C.6D.5√x2a2－y2123x－y＝012345678910111213141516解析设P为圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，则P(0,3).因为双曲线的渐近线方程为y＝±23ax，则23a＝3，解得a＝2，所以双曲线方程为x24－y212＝1.设双曲线的右焦点为F′，则F′(4,0).12345678910111213141516连接MF′，PN，PF′，由双曲线的定义得|MF|－|MF′|＝2a＝4，则|MF|＝|MF′|＋4，所以|MN|＋|MF|＝|PN|＋|MN|＋|MF′|＋4－|PN|＝|PN|＋|MN|＋|MF′|＋2.如图所示，当P，N，M，F′四点共线时，|MN|＋|MF|取得最小值，最小值为|PF′|＋2＝32＋42＋2＝7.1234567891011121314151614.在平面直角坐标系xOy中，双曲线＝1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_________.x2a2－y2b2y＝±22x∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.12345678910111213141516解析设A(x1，y1)，B(x2，y2).又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝2pb2a2.∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，∴y1＋y2＝p，∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，15.(2019·合肥模拟)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线C2：x2b2－y2a2－2b2＝1，F1，F2为C2的焦点，P为C1和C2的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为32，则该内切圆的半径为A.42－26B.42－23C.43－26D.46－23拓展冲刺练12345678910111213141516√所以a＝4，解析不妨设点P在第一象限内，△PF1F2的内切圆与边PF1，F1F2，PF2的切点分别为A，B，C，双曲线C2的半焦距为c.由切线长定理可知，|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝(|PA|＋|BF1|)－(|PA|＋|BF2|)＝|BF1|－|BF2|＝(2＋c)－(c－2)＝4，又|PF1|－|PF2|＝2b，所以b＝2.12345678910111213141516因为C1和C2的离心率之积为a2－b2a·b2＋a2－2b2b＝32，所以C1，C2的方程分别为x216＋y24＝1，x24－y28＝1，解得r＝42－26.易知F1，F2也为椭圆C1的焦点，所以由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝8.设内切圆的半径为r，12345678910111213141516由x216＋y24＝1，x24－y28＝1，得点P的纵坐标yP＝263.则12(|PF1|＋|PF2|＋2c)r＝12yP×2c，易知2c＝43，所以12(8＋43)r＝12×263×43，16.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的动直线l交抛物线C于A，B两点，其中B在x轴上方，P，Q分别为圆(x－1)2＋y2＝1上的两个动点，当4|AP|＋|BQ|最小时，直线l的斜率为_____.123456789101112131415162212345678910111213141516解析设直线l：y＝k(x－1)(k