2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第2课时 定点与定值问题课件 理 新

第2课时定点与定值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题定点问题题型一师生共研例1(2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；解由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.证明抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).由y＝kx－1，x2＝－4y，得x2＋4kx－4＝0.Δ＝16k2＋160恒成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝y1x1x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－x1y1.同理得点B的横坐标xB＝－x2y2.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3).设点D(0，n)，则DA→＝－x1y1，－1－n，DB→＝－x2y2，－1－n，DA→·DB→＝x1x2y1y2＋(n＋1)2＝x1x2－x214－x224＋(n＋1)2＝16x1x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令DA→·DB→＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.思维升华SIWEISHENGHUA(1)证明：直线AB过定点；跟踪训练1(2019·全国Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0，12.(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.Δ＝4t2＋40，于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22，可得x2－2tx－1＝0，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2·x1＋x22－4x1x2＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1，解得t＝0或t＝±1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.因为EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.定值问题题型二师生共研例2(2020·河南八市重点高中联考)已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p0)交于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程；OA→·OB→＝－3解设直线l：x＝my＋1，联立方程x＝my＋1，y2＝2px，消x得，y2－2pmy－2p＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2p，又因为OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝(1＋m2)(－2p)＋2pm2＋1＝－2p＋1＝－3.解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)过点M作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2，证明：为定值.1S21＋1S22证明由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝my1＋my2＋2＋p＝4m2＋4.原点到直线l的距离d＝11＋m2，所以S1＝12×11＋m2×4(m2＋1)＝21＋m2.因为直线l′过点(1,0)且l′⊥l，所以S2＝21＋1m2＝21＋m2m2.所以1S21＋1S22＝141＋m2＋m241＋m2＝14.即1S21＋1S22为定值14.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；解因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由y2＝4x，y＝kx＋1，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×10，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1).(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值.证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1)，令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1k－1x1＋x2－1k－1x2＝1k－1·2x1x2－x1＋x2x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ为定值.基础保分练(1)求椭圆C的标准方程；12345课时精练1.(2020·成都模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且经过点A3，12.解由椭圆的定义，可知123452a＝|AF1|＋|AF2|＝232＋122＋12＝4.解得a＝2.又b2＝a2－(3)2＝1.∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.12345∴直线P′Q的方程为y＋y1＝y2＋y1my2－y1(x－x1).证明由题意，设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1).12345由x＝my＋4，x24＋y2＝1，消去x，可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.∵Δ＝16(m2－12)0，∴m212.∴y1＋y2＝－8mm2＋4，y1y2＝12m2＋4.∵kP′Q＝y2＋y1x2－x1＝y2＋y1my2－y1.12345令y＝0，可得x＝my2－y1y1y1＋y2＋my1＋4.∴D(1,0).∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).∴x＝2my1y2y1＋y2＋4＝2m·12m2＋4－8mm2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.2.(2020·西安模拟)设F1，F2为椭圆C：(b0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；12345解由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，①由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，②x24＋y2b2＝112MFFS△由题意得＝12|MF1|·|MF2|＝1，③由①②③，可得b2＝1，(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.1234512345解依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，故x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.kHR＋kHS＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2k＋(m－1)x1＋x2x1x2＝2k＋(m－1)－8km4m2－4＝2k－2kmm＋1＝2km＋1.12345∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1，∴kHR＋kHS＝－1.故kHR＋kHS为定值－1.123453.(2020·太原模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；解由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.12345(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.12345证明由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得l1，l2的斜率互为相反数，且不等于零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由y＝kx－1＋2，y2＝4x得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，Δ＝16(k－1)20，已知此方程一个根为1，12345∴x1×1＝k－22k2＝k2－4k＋4k2，即x1＝k2－4k＋4k2，同理x2＝－k2－4－k＋4－k2＝k2＋4k＋4k2，∴x1＋x2＝2k2＋8k2，x1－x2＝－8kk2＝－8k，∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·2k2＋8k2－2k＝8k，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝8k－8k＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.∴椭圆的方程为x23＋y2＝1.12345技能提升练4.(2019·邯郸模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PM→＝λ1MQ→，PN→＝λ2NQ→.(1)求椭圆的标准方程；解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.12345(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明直线l过定点，并求此定点.12345由PM→＝λ1MQ→知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，解由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l的方程为x＝t(y－m)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝my1－1.同理由PN→