2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 理 新人教A版

§9.3圆的方程1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.最新考纲以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实圆的定义与方程知识梳理定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心为______半径为__一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：______________圆心坐标：___________半径r＝_______________定点定长(a，b)rD2＋E2－4F0－D2，－E212D2＋E2－4F1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？概念方法微思考提示A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F0.()(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.()基础自测题组一思考辨析x20＋y20√√√×2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2题组二教材改编√解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1√4.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_______________.即a＋12＋1＝a－12＋9，(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，解得a＝2，∴圆心为C(2，0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(－∞，－22)∪(22，＋∞)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－23)∪(23，＋∞)由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.√6.半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________________________________.(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9解析由题意知圆心坐标为(3，3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.典题深度剖析重点多维探究题型突破圆的方程题型一自主演练1.(2019·包头青山区模拟)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为___________________.(x－3)2＋(y－2)2＝13解析方法一(几何法)kAB＝5－01－6＝－1，则AB的垂直平分线方程为y－52＝x－72，即x－y－1＝0，联立方程x－y－1＝0，2x－7y＋8＝0，解得x＝3，y＝2，r＝6－32＋0－22＝13，故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)方法二(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得6－a2＋0－b2＝r2，1－a2＋5－b2＝r2，2a－7b＋8＝0，解得a＝3，b＝2，r2＝13，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.2.已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为_________________.(x－25)2＋y2＝5解析根据题意，设圆的圆心坐标为(a，0)(a0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝|a＋2×0|12＋22＝55a.5又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋55a2＝5，解得a＝25.故圆的方程为(x－25)2＋y2＝5.3.若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值是___.7解析四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则25＋0＋5D＋0＋F＝0，1＋0－D＋0＋F＝0，9＋9－3D＋3E＋F＝0，解得D＝－4，E＝－253，F＝－5，所以圆的方程为x2＋y2－4x－253y－5＝0，将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0.解得a＝7或a＝－3(舍).(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值.②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.思维升华SIWEISHENGHUA与圆有关的轨迹问题题型二师生共研例1已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.解方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，解设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2＝x0－32，y2＝y0＋42，整理得x0＝x＋3，y0＝y－4，又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直线OM与轨迹相交于两点－95，125和－215，285，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－95，125和－215，285.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，与圆有关的最值问题题型三师生共研例2(1)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是______.解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，25故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝5的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得m＝－4，n＝－2，故A′(－4，－2).连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.本例(2)中，求y－x的最大值和最小值.引申探究1解y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值.引申探究2解x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.思维升华SIWEISHENGHUAy－bx－a跟踪训练2已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；解由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，解可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(3)求y－x的最大值和最小值.解设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b