2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.2 函数的单调性与最值课件 理 新

§2.2函数的单调性与最值1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.最新考纲以基本初等函数为载体，考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数1.函数的单调性(1)单调函数的定义知识梳理f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得_________(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？概念方法微思考提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在D上是增函数.减函数类似.2.写出函数y＝x＋ax(a0)的增区间.提示(－∞，－a]和[a，＋∞).1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(4)所有的单调函数都有最大值和最小值.()基础自测题组一思考辨析××××1x2.如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是A.f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B.f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C.f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D.当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1t2题组二教材改编√3.函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______.24.若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是__________.(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.解得－1≤a1.题组三易错自纠5.函数f(x)＝的单调增区间是_______；f(x)的值域是__________.212log(2)xx14，12[3，＋∞)6.函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，典题深度剖析重点多维探究题型突破确定函数的单调性题型一多维探究命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析由x2－2x－80，得f(x)的定义域为{x|x4或x－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内).∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).故选D.√(2)设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________.解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，[0,1)该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1).命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a0)在(－∞，1)上的单调性.解方法一∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1x2，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减.方法二f′(x)＝ax－1－axx－12＝－ax－12，∵(x－1)20，a0，∴f′(x)0，故a0时，f(x)在(－∞，1)上是减函数.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝B.y＝2－xC.y＝D.y＝1x12x12logx√由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增.12x解析y＝＝x，y＝2－x＝12x，y＝，y＝1x的图象如图所示.12x12logx(2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.[1,2](3)函数f(x)＝的单调增区间为_____________.由复合函数单调性知f(x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，解析由6x2＋x－10得，f(x)的定义域为xx－12或x13.2110log(61)xx－∞，－12∴f(x)的单调增区间为－∞，－12.函数单调性的应用题型二多维探究例3(1)(2019·贵阳检测)若函数f(x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是A.f(a)f(b)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(a)f(b)√命题点1比较函数值的大小151log3152解析因为函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0＝log53log541，所以f(b)f(a)f(c).故选D.151log3152解析∵定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数.∵a＝f(log22)＝f(1)，b＝f(log24)＝f(2)，c＝f(2m)＝f(0)，∴a，b，c的大小关系为cab.(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数.记a＝f(log22)，b＝f(log24)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为A.abcB.cabC.acbD.cba√所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.例4(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，命题点2求函数的最值3解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，(2)函数y＝x2＋4x2＋5的最大值为________.25∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号).即y最大值为25.命题点3解函数不等式解析根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数.∴2－x2x，∴－2x1.例5(1)已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx＋1，x0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是________.(－2,1)(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是______________________.解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，(－5，－2)∪(2，5)所以由f(x2－4)2得，f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是A.(0,1)B.0，13C.17，13D.17，1解析由f(x)是减函数，得3a－1＜0，0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥loga1，∴17≤a＜13，∴a的取值范围是17，13.√(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.(3)已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________.解析设u＝2－ax，∵a0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数.由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，∴a1.又∵u在[0,1]上要满足u0，(1,2)∴2－a×10，2－a×00，得a2.综上得1a2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)求最值.(3)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(4)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是________________.(－1,0)∪(0,1)解析因为f(x)在R上为减函数，且f1|x|f(1)，所以1|x|1，即0|x|1，所以0x1或－1x0.(2)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________.2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知函数y＝在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为