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第八单元考点一考点二核心素养专项提升1.2不等关系及简单不等式的解法第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测234151.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则aba-b0ab1(b0)或ab1(b0)a=ba-b=0ab1(b≠0)aba-b0ab1(b0)或ab1(b0)=第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测234152.不等式的性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒.(3)可加性:ab⇔a+cb+c;ab,cd⇒a+cb+d.(4)可乘性:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc;ab0,cd0⇒acbd.(5)可乘方:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1).(6)可开方:ab0⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n∈N,n≥2).ac第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测234153.不等式的常用性质(1)倒数的性质①ab,ab0⇒1𝑎1𝑏.②a0b⇒1𝑎1𝑏.③ab0,0cd⇒𝑎𝑐𝑏𝑑.④0axb或axb0⇒1𝑏1𝑥1𝑎.(2)有关分数的性质若ab0,m0,则①𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎+𝑚;𝑏𝑎𝑏-𝑚𝑎-𝑚(b-m0).②𝑎𝑏𝑎+𝑚𝑏+𝑚;𝑎𝑏𝑎-𝑚𝑏-𝑚(b-m0).第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测234154.三个“二次”之间的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集xx≠-b2aRax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}⌀⌀第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234155.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法不等式解集aba=bab(x-a)·(x-b)0{x|xa或xb}(x-a)·(x-b)0{x|bxa}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}⌀第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)ab⇔ac2bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式𝑥-2𝑥+1≤0的解集是[-1,2].()(2)ab0,cd0⇒𝑎𝑑𝑏𝑐.()×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若ab,则|a||b|B.若ab,则1𝑎1𝑏C.若|a|b,则a2b2D.若a|b|,则a2b2答案解析解析关闭当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a|b|≥0,则a2b2,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.若0ab1,则下列不等式成立的是()A.a3b3B.1𝑎1𝑏C.ab1D.lg(b-a)0答案解析解析关闭∵0ab1,∴0b-a1,∴lg(b-a)0.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.(2019广东深圳高级中学高三适应性考试)已知集合A={x|y=(1-𝑥)(𝑥+3)},B={x|log2x≤1},则A∩B=()A.{x|-3≤x≤1}B.{x|0x≤1}C.{x|-3≤x≤2}D.{x|x≤2}答案解析解析关闭由(1-x)(x+3)≥0,得-3≤x≤1,故A={x|-3≤x≤1}.又B={x|log2x≤1}={x|0x≤2},故A∩B={x|0x≤1}.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.(2019广东广州高三二模)已知集合A=𝑥1-8𝑥-20,则∁RA=()A.{x|x2或x≥6}B.{x|x≤2或x≥6}C.{x|x2或x≥10}D.{x|x≤2或x≥10}答案解析解析关闭∵1-8𝑥-20,∴𝑥-10𝑥-20,∴(x-2)(x-10)0,∴2x10,∴A={x|2x10},∴∁RA={x|x≤2或x≥10}.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点4考点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cabD.bac思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()BB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-10,a2-10.∴(a1-1)(a2-1)0,即M-N0.∴MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.由𝑏𝑎=3ln44ln3=log81641,可知ab;由𝑏𝑐=5ln44ln5=log62510241,可知bc.故cba.(方法二)令f(x)=ln𝑥𝑥,可得f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.易知当xe时,f'(x)0,即f(x)单调递减.因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商时各式的符号应相同,作商只是思路,关键是化简变形,使结果能够与1比较大小.方法有分母(分子)有理化、指对数恒等变形等.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.abbaA第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.∴b-a=a2-a+1=𝑎-122+340,∴ba.∴c≥ba.(2)令f(x)=ln𝑥𝑥,则f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.当xe时,f'(x)0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为eab,所以f(a)f(b),即ln𝑎𝑎ln𝑏𝑏.所以blnaalnb.所以abba.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4考点2不等式的性质及应用例2(1)如果a∈R,且a2+a0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2a-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a(2)(2019福建宁德、福鼎三校联考)若1𝑎1𝑏0,则下列不等式:①1𝑎+𝑏1𝑎𝑏,②|a|+b0,③a-1𝑎b-1𝑏,④lna2lnb2中,不正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?DD第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1a0.由不等式的性质可知-aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.(2)由1𝑎1𝑏0,得ba0.①∵ba0,∴a+b0,ab0,∴1𝑎+𝑏1𝑎𝑏成立,故①正确.②∵ba0,∴-b-a0,∴-b|a|,即|a|+b0,故②错误.③∵1𝑎1𝑏0,∴-1𝑎-1𝑏.又ab,∴a-1𝑎b-1𝑏,故③正确.④∵ba0,∴b2a20,∴lnb2lna2,故④错误.综上,不正确的不等式是②④.故选D.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式一边是正数,另一边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式一边是正数,另一边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)若a1b-1,则下列不等式恒成立的是()A.ab2B.1𝑎1𝑏C.1𝑎1𝑏D.a22b答案解析解析关闭对于A,∵-1b1,∴0≤b21.∵a1,∴ab2,故A正确;对于B,若a=2,b=12,此时满足a1b-1,但1𝑎1𝑏,故B错误;对于C,若a=2,b=-12,此时满足a1b-1,但1𝑎1𝑏,故C错误;对于D,若a=98,b=34,此时满足a1b-1,但a22b,故D错误.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4(2)下列命题正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abC.若𝑎𝑐2𝑏𝑐2,则abD.若ab,cd,则a-cb-d答案解析解析关闭取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c0时,acbc⇒ab,∴B错误;∵𝑎𝑐2𝑏𝑐2,∴c≠0,∴c20,∴ab,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点4考点3简单不等式的解法(多考向)考向一不含参数的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+30的解集为.思考如何求解不含参数的一元二次不等式?答案解析解析关闭∵-2x2+x+30,∴2x2-x-30.解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=32.∴不等式2x2-x-30的解集为(-∞,-1)∪32,+∞,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪32,+∞.答案解析关闭(-∞,-1)∪32,+∞第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考点4考向二分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?例4不等式3𝑥