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第八单元考点一考点二核心素养专项提升第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-2-第八单元考点一考点二核心素养专项提升5.1平面向量的概念及线性运算第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23411.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量;向量AB的大小叫做向量的(或),记作|AB|平面向量是自由向量零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±𝑎|𝑎|大小方向长度模01个单位长度第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2341名称定义备注平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测23412.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=(2)结合律:(a+b)+c=b+aa+(b+c)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2341向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ=0时,λa=0λ(μa)=;(λ+μ)a=;λ(a+b)=|λ||a|相同相反λμaλa+μaλa+λb第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测23413.向量共线定理(1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得.注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得𝑂𝑃=(1-λ)𝑂𝐴+λ𝑂𝐵.b=λa第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测23414.两个结论(1)P为线段AB的中点⇔𝑂𝑃=12(𝑂𝐴+𝑂𝐵);(2)G为△ABC的重心⇔𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶=0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-10-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(4)若向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.()(2)𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐷.()𝐴𝐵与向量𝐶𝐷×√×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测23412.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a||b|答案解析解析关闭由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测23413.(2019广西玉林高中模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则𝐷𝐴+2𝐸𝐵+3𝐹𝐶=()A.12𝐴𝐷B.32𝐴𝐷C.12𝐴𝐶D.32𝐴𝐶答案解析解析关闭∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴𝐷𝐴+2𝐸𝐵+3𝐹𝐶=12(𝐵𝐴+𝐶𝐴)+2×12(𝐴𝐵+𝐶𝐵)+3×12(𝐴𝐶+𝐵𝐶)=12𝐵𝐴+12𝐶𝐴+𝐴𝐵+𝐶𝐵+32𝐴𝐶+32𝐵𝐶=12𝐴𝐵+12𝐵𝐶+𝐴𝐶=32𝐴𝐶.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-13-知识梳理双基自测23414.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案解析解析关闭由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),则𝜆=𝑡,1=2𝑡,解得λ=12.答案解析关闭12第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点1辨析平面向量的有关概念例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中正确题的序号是.𝐴𝐵=𝐷𝐶②A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是②.②正确.∵𝐴𝐵=𝐷𝐶,∴|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,且𝐴𝐵∥𝐷𝐶.又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,则𝐴𝐵与𝐷𝐶的方向相同,且|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,因此,𝐴𝐵=𝐷𝐶.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019广西南宁质检)已知a,b是两个单位向量,下列命题中错误的是()A.|a|=|b|=1B.a·b=1C.当a,b反向时,a+b=0D.当a,b同向时,a=bCB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解析:(1)①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.(2)a,b是两个单位向量,即模为1的向量,对于A,|a|=|b|=1,正确;对于B,a·b=|a|·|b|cosa,b=cosa,b,错误;对于C,当a,b反向时,a+b=0,正确;对于D,当a,b同向时,a=b,正确.故选B.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点2平面向量的线性运算例2(1)在△ABC中,𝐴𝑁=14𝑁𝐶,P是直线BN上一点.若𝐴𝑃=m𝐴𝐵+25𝐴𝐶,则实数m的值为()A.-4B.-1C.1D.4(2)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则𝐸𝐵=()A.34𝐴𝐵−14𝐴𝐶B.14𝐴𝐵−34𝐴𝐶C.34𝐴𝐵+14𝐴𝐶D.14𝐴𝐵+34𝐴𝐶思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?BA第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解析：(1)由题意,设𝐵𝑃=n𝐵𝑁,则𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐵+n𝐵𝑁=𝐴𝐵+n(𝐴𝑁−𝐴𝐵)=𝐴𝐵+n14𝑁𝐶-𝐴𝐵=𝐴𝐵+n15𝐴𝐶-𝐴𝐵=(1-n)𝐴𝐵+𝑛5𝐴𝐶.∵𝐴𝑃=m𝐴𝐵+25𝐴𝐶,∴m=1-n,且𝑛5=25,解得n=2,m=-1.(2)如图,𝐸𝐵=-𝐵𝐸=-12(𝐵𝐴+𝐵𝐷)=12𝐴𝐵−14𝐵𝐶=12𝐴𝐵−14(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=34𝐴𝐵−14𝐴𝐶.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|𝐵𝑂|=3|𝐶𝑂|,当𝐴𝑂=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶时,x-y=()A.-2B.-3C.2D.3(2)(2019河北邯郸大名一中高三模拟)在平行四边形ABCD中,O为AC与BD的交点,若2𝐴𝐸=𝐸𝐷,则𝑂𝐸=()A.12𝐵𝐴+16𝐵𝐶B.12𝐵𝐴−16𝐵𝐶C.-12𝐵𝐴+16𝐵𝐶D.-12𝐵𝐴−16𝐵𝐶AB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解析:(1)如图,∵|𝐵𝑂|=3|𝐶𝑂|,∴𝐵𝑂=3𝐶𝑂.∴𝐵𝑂=32𝐵𝐶=32(𝐴𝐶−𝐴𝐵).∴𝐴𝑂=𝐴𝐵+𝐵𝑂=𝐴𝐵+32(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-12𝐴𝐵+32𝐴𝐶.又𝐴𝑂=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶,∴x=-12,y=32.∴x-y=-2,故选A.(2)𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝐴𝐸=12(𝐵𝐴−𝐵𝐶)+13𝐵𝐶=12𝐵𝐴−16𝐵𝐶.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3考点3向量共线定理及其应用例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若𝐴𝐵=a+b,𝐵𝐶=2a+8b,𝐶𝐷=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3(1)证明∵𝐴𝐵=a+b,𝐵𝐶=2a+8b,𝐶𝐷=3(a-b),∴𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐶𝐷=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5𝐴𝐵.∴𝐴𝐵,𝐵𝐷共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)解∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.第八单元考点一考点二核心素养专项提