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第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)=.(2)cos(α∓β)=.(3)tan(α±β)=tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβ第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测212.二倍角公式sin2α=;cos2α===;tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.()(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.()(3)cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=12.()(4)cosθ=2cos2𝜃2-1=1-2sin2𝜃2.()(5)1-tan𝜃1+tan𝜃=tanπ4+𝜃.()√××√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测234152.sin20°sin80°-cos160°cos80°=()A.-√32B.√32C.-12D.12答案解析解析关闭sin20°sin80°-cos160°cos80°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234153.若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45D解析(方法1)cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2𝜃-sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1-tan2𝜃1+tan2𝜃=1--1321+-132=45.故选D.(方法2)∵tanθ=-13,∴sin𝜃cos𝜃=-13,即3sinθ=-cosθ.两边平方得9sin2θ=cos2θ,即9×1-cos2𝜃2=1+cos2𝜃2,解得cos2θ=45.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234154.若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案解析解析关闭cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234155.cos2π8-sin2π8=.答案解析解析关闭由二倍角公式得,cos2π8-sin2π8=cosπ4=√22.答案解析关闭√22第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-9-考点1考点2考点3考点1三角函数公式的基本应用例1(1)cosαsin𝛼+π6+sinαsin𝛼-π3=()A.12B.-12C.√32D.-√32(2)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.13-79A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3解析:(1)cosαsin𝛼+π6+sinαsin𝛼-π3=cosαsin𝛼+π6-sinαcos𝛼-π3+π2=sin𝛼+π6cosα-cos𝛼+π6sinα=sin𝛼+π6-𝛼=sinπ6=12,故选A.(2)(方法一)因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2√232+132=-79.(方法二)由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×132-1=-79.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知sinα=35,α∈π2,π,则cos2𝛼√2sin𝛼+π4=.(2)(2019广西玉林陆川中学期中)已知sin12π5+θ+2sin11π10-𝜃=0,则tan2π5+𝜃=.-752第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解析:(1)∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=-45.∴cos2𝛼√2sin𝛼+π4=cos2𝛼-sin2𝛼√2√22sin𝛼+√22cos𝛼=cosα-sinα=-75.(2)∵sin12π5+𝜃+2sin11π10-𝜃=0,∴sin2π5cosθ+cos2π5sinθ+2sin11π10cos𝜃-cos11π10sin𝜃=0,∴sin2π5cosθ+cos2π5sinθ+2sin2π5sin𝜃-cos2π5cos𝜃=0,等式两边同时除以cos2π5cosθ,得tan2π5+tanθ+2tan2π5tan𝜃-1=0,∴tan2π5+tan𝜃1-tan2π5tan𝜃=2,即tan2π5+𝜃=2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点2三角函数公式的逆用及变用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为()A.√2B.√22C.12D.√32(2)已知sinα+cosα=13,则sin2π4-𝛼=()A.118B.1718C.89D.√29(3)在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值为()A.-√22B.√22C.12D.-12思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?BBB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解析:(1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin45°=√22.故选B.(2)∵sinα+cosα=13,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=19,∴sin2α=-89,∴sin2π4-𝛼=1-cosπ2-2𝛼2=1-sin2𝛼2=1718.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3(3)由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得tan𝐴+tan𝐵1-tan𝐴tan𝐵=-1,即tan(A+B)=-1,∴A+B=3π4,则C=π4,即cosC=√22.解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.(2)化简:[2sin50°+sin10°(1+√3tan10°)]·√2sin280°=.(3)在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差数列,则tan𝐴2+tan𝐶2+√3tan𝐴2tan𝐶2的值为.答案:(1)-12(2)√6(3)√3第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解析:(1)∵(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-12.(2)原式=2sin50°+sin10°·cos10°+√3sin10°cos10°·√2sin80°=2sin50°+2sin10°·12cos10°+√32sin10°cos10°·√2cos10°=2√2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2√2sin(50°+10°)=2√2×√32=√6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(3)∵三个内角A,B,C成等差数列,且A+B+C=π,∴A+C=2π3,𝐴+𝐶2=π3,tan𝐴+𝐶2=√3,∴tan𝐴2+tan𝐶2+√3tan𝐴2tan𝐶2=tan𝐴2+𝐶21-tan𝐴2tan𝐶2+√3tan𝐴2tan𝐶2=√31-tan𝐴2tan𝐶2+√3tan𝐴2tan𝐶2=√3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点3三角函数公式运用中角的变换例3(1)若0απ2,-π2β0,cosπ4+𝛼=13,cosπ4-𝛽2=√33,则cos𝛼+𝛽2等于()A.√33B.-√33C.5√39D.-√69(2)(2019广西桂林高三一模)已知sin2α=14,且0απ4,则sin5π4-𝛼=()A.-√104B.√104C.√64D.-√64(3)已知cos𝛼-𝛽2=-19,sin𝛼2-𝛽=23,且π2απ,0βπ2,则cos(α+β)=.C-239729D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数值的一般思路是什么?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解析:(1)cos𝛼+𝛽2=cosπ4+𝛼-π4-𝛽2=cosπ4+𝛼·cosπ4-𝛽2+sinπ4+𝛼sinπ4-𝛽2.∵0απ2,则π4π4+α3π4,∴sinπ4+𝛼=2√23.又-π2β0,则π4π4−𝛽2π2,∴sinπ4-𝛽2=√63.故cos𝛼+𝛽2=13×√33+2√23×√63=5√39.故选C.(2)因为sin2α=cosπ2-2𝛼=1-2sin2π4-𝛼=14,0απ4,所以sinπ4-α=√64,所以sin5π4-𝛼=-sinπ4-α=-√64.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(3)由已知,得π2α-𝛽2π,0𝛼2-βπ2,∴sin𝛼-𝛽2=4√59,cos𝛼2-𝛽=√53,∴cos𝛼+𝛽2=cos𝛼-𝛽2-𝛼2-𝛽=cos𝛼-𝛽2cos𝛼2-𝛽+sin𝛼-𝛽2·sin𝛼2-𝛽=-19×√53+4√59×23=7√527.则cos(α+β)=2cos2𝛼+𝛽2-1=-239729.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,要注意观察所求角与已知角的和或差是不是的整数倍,若是,则可利用诱导公式将所求角转化为已知角.2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=𝛼+𝛽2−𝛼-𝛽2,α=𝛼+𝛽2+𝛼-𝛽2,𝛼-𝛽2=𝛼+𝛽2−𝛼2+𝛽等.π2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提