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第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈[0,+∞)振幅周期频率相位初相AT=2𝜋ωf=1T=ω2𝜋ωx+φφ第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示x0-φω𝜋2-φω𝜋-φω3𝜋2-φω2𝜋-φωωx+φ𝜋23𝜋2y=Asin(ωx+φ)0A0-A00π2π第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2313.由y=sinx的图象得y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的两种方法|φ|𝜑𝜔第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.()(2)将y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度,得到y=sin2𝑥-π3的图象.()(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.()(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为𝑇2.()(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+π2(k∈Z).()×××√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测23412.若函数f(x)=3cos𝜔𝑥-π4(1ω14)的图象关于直线x=π12对称,则ω等于()A.2B.3C.6D.9答案解析解析关闭∵f(x)=3cos𝜔𝑥-π4(1ω14)的图象关于直线x=π12对称,∴π12ω-π4=kπ,k∈Z,即ω=12k+3.∵1ω14,∴由此求得ω=3,故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测23413.函数f(x)=2sin(ωx+φ)𝜔0,-π2𝜑π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是()A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6D.4,π3答案解析解析关闭∵34T=5π12−-π3,∴T=π,∴ω=2.∴2×5π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ-π3,k∈Z.又φ∈-π2,π2,∴φ=-π3,故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测23414.若将函数的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.f(x)=sin2𝑥+π4答案解析解析关闭把函数f(x)=sin2𝑥+π4的图象向右平移φ个单位,得到f(x)=sin2(𝑥-𝜑)+π4=sin2𝑥-2𝜑+π4的图象.因为f(x)=sin2𝑥-2𝜑+π4的图象关于y轴对称,所以-2φ+π4=kπ+π2,k∈Z,即φ=-𝑘π2−π8,k∈Z.当k=-1时,φ的最小正值是3π8.答案解析关闭3π8第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-9-考点1考点2考点3考点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换例1某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)𝜔0,|𝜑|π2在某一个周期内的图象,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0𝜋2π3𝜋22πx𝜋35𝜋6Asin(ωx+φ)05-50第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.思考作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象有哪些方法?5π12,0第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ0𝜋2π3𝜋22πx𝜋12𝜋37𝜋125𝜋613𝜋12Asin(ωx+φ)050-50且函数解析式为f(x)=5sin2𝑥-π6.(2)由(1)知f(x)=5sin2𝑥-π6,得g(x)=5sin2𝑥+2𝜃-π6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得x=𝑘π2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,令𝑘π2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=𝑘π2−π3,k∈Z.由θ0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得1.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的两种作法:(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用来确定平移单位.0,π2,π,3π2,2πωx+φ=ω𝑥+𝜑𝜔第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin2𝑥+2π3,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2答案解析解析关闭曲线C1的方程可化为y=cosx=sin𝑥+π2,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin2𝑥+π2=sin2𝑥+π4,为得到曲线C2:y=sin2𝑥+π3,需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(2)已知函数y=2sin2𝑥+π3.①求它的振幅、周期、初相;②用“五点法”作出它在一个周期内的图象;③说明y=2sin2𝑥+π3的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解:①y=2sin2𝑥+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.②令x'=2x+π3,则y=2sin2𝑥+π3=2sinx'.列表:x-𝜋6𝜋12𝜋37𝜋125𝜋6x'=2x+𝜋30𝜋2π3𝜋22πy=sinx'010-10y=2sin2x+𝜋3020-20第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3描点连线得函数图象,如图所示.③把y=sinx的图象上所有的点先向左平移π3个单位,得到y=sin𝑥+π3的图象,再把y=sin𝑥+π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2𝑥+π3的图象,最后把y=sin2𝑥+π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2𝑥+π3的图象.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点2求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式(多考向)考向一由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式例2函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2𝑥-π6B.y=2sin2𝑥-π3C.y=2sin𝑥+π6D.y=2sin𝑥+π3思考由y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的图象求其解析式的方法和步骤是怎样的?A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).方法一:因为函数图象过点π3,2,所以2=2sin2×π3+𝜑.所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2𝑥-π6,故选A.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3方法二:因为函数图象过点-π6,-2,所以-2=2sin2×-π6+𝜑,所以2×-π6+φ=2kπ-π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z.令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2𝑥-π6.故选A.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考向二由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式(1)求ω和φ的值;(2)当x∈0,π2时,求函数y=f(x)的最大值和最小值.例3已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)ω0,-π2≤φπ2的图象关于直线x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.思考如何由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定A,ω,φ?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2π𝑇=2.又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=kπ+π2,k∈Z,又-π2≤φπ2,所以φ=π2−2π3=-π6.综上,ω=2,φ=-π6.(2)由(1)知f(x)=√3sin2𝑥-π6.当x∈0,π2时,可知-π6≤2x-π6≤56π.故当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)最大=√3.当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)最小=-√32.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解题心得1.由图象确定y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的解析式的步骤和方法:(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=𝑀-𝑚2,b=𝑀+𝑚2.(2)求ω:ω由最小正周期T确定,即由2π𝜔=T求出.常用的确定T值的方法:①当b=0时,曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为𝑇2;②曲线上最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标的差的绝对值为𝑇2;③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T;④有时还可以从图中读出𝑇4或者3𝑇4的值.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3(3)求φ:①代入法:把图象上的一个已知点代入来求.②五点法:寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=3π2;“第五点”时,ωx+φ=2π.③运用逆向思维,由图象变换来确定:由f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin𝜔𝑥+𝜑𝜔知,“五点法”中的第一个点-𝜑𝜔,0就是由原点平移而来的,可从图中读出此点横坐标等于-𝜑𝜔,即可得到φ值.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点32.由函数y=Asin(ωx+