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第八单元考点一考点二核心素养专项提升第四章三角函数、解三角形第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-2-第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2311.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为、、.按终边位置不同分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.端点正角负角零角象限角第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2312.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式半径长角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°=𝜋180rad,②1rad=180𝜋°弧长公式l=扇形面积公式S=12lr=12|α|r2|α|r第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则叫做α的正弦,记作sinα叫做α的余弦,记作cosα叫做α的正切,记作tanα各象限符号一+++二+--三--+四-+--6-知识梳理双基自测2313.任意角的三角函数yx𝑦𝑥第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测231三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)小于90°的角是锐角.()(2)若sinα0,则α是第一、第二象限的角.()(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()(4)若角α为第一象限角,则sinα+cosα1.()(5)若α∈0,π2,则tanααsinα.()×××√√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234152.下列各角与60°终边相同的角是()A.4π3B.5π3C.-4π3D.-5π3答案解析解析关闭∵60°=π3,与π3终边相同的角可以写成β=π3+k·2π,k∈Z,当k=-1时,β=-5π3.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234153.已知扇形周长为10cm,面积是4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是()A.8B.12C.8或12D.8或4答案解析解析关闭设圆心角是θ,半径是r,则2𝑟+𝑟𝜃=10,12𝜃·𝑟2=4,解得𝑟=1,𝜃=8(舍)或𝑟=4,𝜃=12,故扇形圆心角为12.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234154.已知角α的终边在直线y=-x上,且cosα0,则tanα=.答案解析解析关闭由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tanα=𝑦𝑥=-𝑥𝑥=-1.答案解析关闭-1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.若角θ同时满足sinθ0,且tanθ0,则角θ的终边一定落在第象限.答案解析解析关闭由sinθ0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tanθ0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限答案解析关闭四第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点1角的表示及象限的判定例1(1)终边在直线y=√3x上的角的集合为;(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同,则在区间[0,2π)内终边与𝜃3角的终边相同的角为;(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的象限为.思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角α所在的象限,如何求角kα,(k≥2,且k∈N*)所在的象限?𝛼𝑘𝛼𝛼=π3+𝑘π,𝑘∈Z2π7,20π21,34π21第一或第二象限或y轴的非负半轴第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解析:(1)∵在(0,2π)内终边在直线y=√3x上的角是π3,4π3,与角π3,4π3终边相同的角分别为2kπ+π3,2kπ+4π3=(2k+1)π+π3,k∈Z,∴终边在直线y=√3x上的角的集合为𝛼𝛼=π3+𝑘π,𝑘∈Z.(2)∵θ=6π7+2kπ(k∈Z),∴𝜃3=2π7+2𝑘π3(k∈Z).依题意,0≤2π7+2𝑘π32π,解得-37≤k187,k∈Z.∴k=0,1,2,即在区间[0,2π)内终边与𝜃3相同的角为2π7,20π21,34π21.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(3)由α是第三象限角,得π+2kπα3π2+2kπ(k∈Z),则2π+4kπ2α3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可.3.确定角kα,𝛼𝑘(k≥2,且k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或𝛼𝑘的范围,最后根据k的可能取值讨论确定角kα或𝛼𝑘的终边所在位置.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)给出下列四个命题:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个(2)(2017山东潍坊模拟)集合𝛼𝑘π+π4≤𝛼≤𝑘π+π2,𝑘∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()(3)已知α是第三象限角,则𝛼2是第象限角.二或第四CC第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解析:(1)-3π4是第三象限角,故①错误;4π3=π+π3,从而4π3是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③正确;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④正确.(2)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样,当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤α≤π+π2表示的范围一样.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3(3)方法一(角的集合表示):∵2kπ+πα2kπ+3π2(k∈Z),∴kπ+π2𝛼2kπ+3π4(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2𝛼22nπ+3π4,𝛼2是第二象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π2𝛼22nπ+7π4,𝛼2是第四象限角.综上知,当α是第三象限角时,𝛼2是第二或第四象限角.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3方法二(象限等分法):如图,求𝛼2所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标1,2,3,4.因为α是第三象限角,所以图中标记为数字3的象限就是𝛼2所在的象限,所以𝛼2是第二或第四象限角.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点2三角函数定义的应用(多考向)考向一利用三角函数定义求三角函数值例2已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=.思考如何求已知角的终边上一点坐标的三角函数值?求角的终边在一条确定直线的三角函数值应注意什么?答案解析解析关闭设α终边上任一点为P(-4a,3a),r=|5a|.当a0时,r=5a,sinα=35,cosα=-45,tanα=-34,5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;当a0时,r=-5a,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3=-2.综上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.答案解析关闭-2或-4第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考向二利用三角函数线解三角不等式例3(1)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是()A.π2,3π4∪π,5π4B.π4,π2∪π,5π4C.π2,3π4∪5π4,3π2D.π4,π2∪3π4,π(2)函数y=sin𝑥-√32的定义域为.思考三角函数的几何意义是什么?该几何意义有哪些应用?2𝑘π+π3,2𝑘π+2π3,k∈ZB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解析:(1)因为点P在第一象限,故sin𝛼-cos𝛼0,tan𝛼0,即sin𝛼cos𝛼,tan𝛼0.由tanα0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆,又sinαcosα,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边为如图所示的阴影部分(不包括边界),即π4,π2∪π,5π4.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(2)由题意,得sinx≥√32,作直线y=√32交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为𝑥2𝑘π+π3≤𝑥≤2𝑘π+2π3,𝑘∈Z.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.2.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角对点训练2(1)若sinαtanα0,且cos𝛼tan𝛼0,则角α是()(2)(2019江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为.(3)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为.𝑘π-π3,𝑘π+π3(k∈Z)C√3第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3解析:(1)由sinαtanα0得角α是第二或第三象限角,由cos𝛼tan𝛼0得角α是第三或第四象限角,所以角α是第三象限角.故选C.(2)∵60°角终边上一点P的坐标为(1,m),∴tan60°=𝑚1=m.∵tan60°=√3,∴m=√3.(3)∵3-4sin2x0,∴sin2x34.∴-√32sinx√32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),∴x∈𝑘π-π3,𝑘π+π3(k∈Z).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-27-考点1考点2考点3考点3扇形弧长、面积公式的应用例4(1)已知扇形的半径为10cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为,面积为.(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=弧度时,其面积最大,最大面积是.思考求扇形面积最值的常用思想方法有哪些?答案答案关闭(1)203πcm1003πcm2(2)2𝑐216第八单元考点一考点二核心