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第八单元考点一考点二核心素养专项提升11.2排列与组合第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23411.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列组合合成一组一定的顺序第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测23412.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的个数组合数的个数排列组合第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23413.排列数、组合数的公式及性质公式(1)𝐴nm==n!(n-m)!(2)𝐶nm=𝐴nm𝐴mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!性质(1)0!=;𝐴nn=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=.(2)𝐶nm=𝐶nn-m;𝐶n+1m=.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)1n!C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)①A𝑛𝑚=(n-m+1)A𝑛𝑚-1;②A𝑛𝑚=𝑛𝑛-𝑚A𝑛-1𝑚;③A𝑛𝑚=nA𝑛-1𝑚-1.(2)①nA𝑛𝑛=A𝑛+1𝑛+1−A𝑛𝑛;②A𝑛+1𝑚=A𝑛𝑚+mA𝑛𝑚-1.(3)1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测2341(4)①C𝑛𝑚=𝑛-𝑚+1𝑚C𝑛𝑚-1;②C𝑛𝑚=𝑛𝑛-𝑚C𝑛-1𝑚;③C𝑛𝑚=𝑛𝑚C𝑛-1𝑚-1.(5)①kC𝑛𝑘=nC𝑛-1𝑘-1;②C𝑟𝑟+C𝑟+1𝑟+C𝑟+2𝑟+…+C𝑛𝑟=C𝑛+1𝑟+1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)若组合式C𝑛𝑥=C𝑛𝑚,则x=m成立.()(5)A𝑛𝑚=n(n-1)(n-2)×…×(n-m)()××√××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.1名老师和5名同学站成一排照相,老师不站在两端的排法共有()A.450种B.460种C.480种D.500种答案解析解析关闭法一(元素分析法):先排老师,有A41种方法,再排学生,有A55种方法,共有A41·A55=480(种)排法;法二(位置分析法):先排两端,有A52种排法,再排其余位置,有A44种排法,共有A52·A44=480(种)排法.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案解析解析关闭先排三个空位,形成4个间隔,再插入3人,故有A43=24(种)坐法.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案解析解析关闭先把4项工作分成3份有C42C21C11A22种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有C42C21C11A22·A33=36种,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,其中男、女生都有的选法种数为.答案解析解析关闭有两种情况,男1女2或男2女1,各有C41C32和C42C31种方法,故选法种数为C41C32+C42C31=12+18=30种.也可用间接法C73−C43−C33=30.答案解析关闭30第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1排列问题例13名女生和5名男生排成一排.(1)若女生全排在一起,有多少种排法?(2)若女生都不相邻,有多少种排法?(3)若女生不站两端,有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻),有多少种排法?(5)其中甲不站左边,乙不站右边,有多少种排法?思考解决排列问题的主要方法有哪些?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解：(1)(捆绑法)由于女生全排在一起,可把她们看成一个整体,这样同5名男生合在一起有6个元素,排成一排有A66种排法,而其中每一种排法中,3名女生之间又有A33种排法,因此共有A66·A33=4320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5名男生,有A55种排法,这5名男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A63种排法,因此共有A55·A63=14400(种)不同排法.(3)(方法一:位置分析法)因为两端不排女生,只能从5名男生中选2人排列,有A52种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A66种排法,因此共有A52·A66=14400(种)不同排法.(方法二:元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生,有A63种排法,其余位置无限制,有A55种排法,因此共有A63·A55=14400(种)不同排法.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3(4)8名学生的所有排列共A88种,其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12,因此符合要求的排法种数为12A88=20160.(5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置.(方法一:特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排,有A77种;甲不在最右边时,可从余下6个位置中任选一个,有A61种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有A61种,其余人全排列,共有A61·A61·A66(种).由分类加法计数原理,共有A77+A61·A61·A66=30960(种).(方法二:特殊位置法)先排最左边,除去甲外,有A71种,余下7个位置全排,有A77种,但应剔除乙在最右边时的排法A61·A66种,因此共有A71·A77−A61·A66=30960(种).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(方法三:间接法)8名学生全排列,共A88种,其中,不符合条件的有甲在最左边时,有A77种,乙在最右边时,有A77种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有A66种.因此共有A88-2A77+A66=30960(种).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解题心得解决排列问题的主要方法有:直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中间接法正难则反,等价转化的方法第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2019广西桂林高三一模)中国古代的五经是指:《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》,甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读,若甲、乙都没有选《诗经》,乙也没选《春秋》,则5名同学所有可能的选择有()A.18种B.24种C.36种D.54种(2)甲、乙、丙等21人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,甲站在第一排正中间位置,乙、丙两人站在与甲相邻的两侧,如果对其他人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有()A.A1818种B.A2020种C.A32A183A1010种D.A22A1818种DD第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解析:(1)乙先选一本书,有3种选法,甲再选一本书,有3种选法,剩下的书分配给其余三人,不同的方法有A33=6(种),所以一共有3×3×6=54(种).(2)在21人中,除了甲、乙、丙三人需要指定位置外,其余18人可以任意排序,虽然分前后两排,但不影响排序结果,所以有A1818种站法,而甲、乙、丙三人根据要求则有A22种站法,所以共有A22A1818(种)站法,故选D.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点2组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?思考解决组合问题的一般思路是什么?常用方法有哪些?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解：(1)从余下的34种商品中,选取2种有C342=561(种),故某一种不合格商品必须在内的不同取法有561(种).(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种或者C353−C342=C343=5984(种).故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种合格商品中选取1件,从15种不合格商品中选取2件有C201C152=2100(种).故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2100种.(4)选取2件不合格商品有C201C152种,选取3件不合格商品有C153种,共有选取方式C201C152+C153=2100+455=2555(种).故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2555种.(5)选取3件的总数有C353种,因此共有选取方式C353−C153=6545-455=6090(种).故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6090种.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3解题心得1.解组合问题的一般思路:首先分清问题是不是组合问题;其次要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,再局部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.2.含有附加条件的组合问题的常用方法:通常用直接法或间接法,应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解,对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题,既可考虑反面情形间接求解,也可以分类研究进行直接求解.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为()A.135B.172C.189D.162(2)(2019广东汕头高三二模)某学校校运会有4个项目(包括立定跳远),小珊、大头、笔笔、阿莹4位同学各自选定一个项目报名参加(互不干扰),则立定跳远这个项目恰有两人报名的方案有()A.36种B.54种C.72种D.108种(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)C36B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解析:(1)由题意,不考虑特殊情况,共有C123种取法,其中每一种卡片各取3张,有4种取法,两种红色卡片,共有C32C91种取法,故所求的取法共有C123-4-C32C91=189(种).(2)由题意,从4位同学中选2位报名立定跳远有C42种方法,剩下的2位同学,每位同学都可以报名除立定跳远外的其他3个项目,每位同学都有3种报名方法,∴根据