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第八单元考点一考点二核心素养专项提升12.5离散型随机变量的均值与方差第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23141.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.(1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.(2)方差:称D(X)=∑𝑖=1𝑛(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,其算术平方根D(X)为随机变量X的.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn标准差第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测23142.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=;(2)E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);(3)D(aX+b)=.aE(X)+ba2D(X)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23143.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.(2)若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=.pp(1-p)npnp(1-p)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23144.常用结论(1)如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(2)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).(3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=𝑛𝑀𝑁.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()××√√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=1.6,𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1-𝑝)=1.28,解得𝑝=0.2,𝑛=8.答案解析关闭C2.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则()A.n=5,p=0.32B.n=4,p=0.4C.n=8,p=0.2D.n=7,p=0.45第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234153.设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=2,4,6,8,10),则D(X)等于()A.5B.8C.10D.1615答案解析解析关闭∵E(X)=15(2+4+6+8+10)=6,∴D(X)=15[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234154.(2019广东广州高三二模)从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则数学期望E(ξ)=()A.45B.1C.75D.2答案解析解析关闭随机变量ξ的所有可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=C43C20C63=15,P(ξ=1)=C42C21C63=35,P(ξ=2)=C41C22C63=15.所有随机变量ξ的分布列为ξ012P153515所以ξ的期望E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1.故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234155.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案解析解析关闭由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案解析关闭1.96第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3考点1离散型随机变量的均值与方差例1某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?45,23,23,第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3解(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,𝐴𝐵𝐶与事件E是对立事件.则P(E)=1-P(𝐴·𝐵·𝐶)=1-P(𝐴)·P(𝐵)·P(𝐶)=1-15×13×13=4445.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3(2)ξ的可能取值为32,2,52,3.∵P𝜉=32=P(𝐴·𝐵·𝐶)=145,P(ξ=2)=P(A·𝐵·𝐶)+P(𝐴·B·𝐶)+P(𝐴·𝐵·C)=845,P𝜉=52=P(A·B·𝐶)+P(A·𝐵·C)+P(𝐴·B·C)=2045,P(ξ=3)=P(A·B·C)=1645.∴ξ的分布列为ξ322523P14584520451645∴E(ξ)=32×145+2×845+52×2045+3×1645=7730.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3对点训练1根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解：(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X300)=0.3,P(300≤X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X300)=0.7,又P(300≤X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6,由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X900|X≥300)=𝑃(300≤𝑋900)𝑃(𝑋≥300)=0.60.7=67.故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点2与二项分布有关的均值、方差例2(2019江西上饶模拟)随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广,越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”,视频率为概率,在我市所有“骑行达人”中,随机抽取4名用户.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(1)求抽取的4名用户中,既有男“骑行达人”,又有女“骑行达人”的概率;(2)为了鼓励女性用户使用共享单车,对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元,记奖励总金额为X,求X的分布列及数学期望.思考如何简便地求二项分布的均值与方差?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解:在该市“骑行达人”中,随机抽取1名用户,该用户为男“骑行达人”的概率为35,女“骑行达人”的概率为25.(1)抽取的4名用户中,既有男“骑行达人”,又有女“骑行达人”的概率为P=1-354−254=528625.(2)记抽出的女“骑行达人”人数为Y,则X=500Y.由题意,得Y~B4,25,∴P(Y=i)=C4𝑖25𝑖354-𝑖(i=0,1,2,3,4).∴Y的分布列为Y01234P816252166252166259662516625第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3∴X的分布列为X0500100015002000P816252166252166259662516625∴E(Y)=4×25=85.∴X的数学期望E(X)=500E(Y)=800.解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3对点训练2某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X=5)=1115,即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3(2)(方法一)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).由已知可得,X1~B2,23,X2~B2,25,所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=45,因此E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=125