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第八单元考点一考点二核心素养专项提升12.2古典概型与几何概型第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2314561.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.互斥基本事件第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2314562.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性.只有有限个相等第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2314563.古典概型的概率公式P(A)=𝐴包含的基本事件的个数基本事件的总数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2314564.常用结论(1)古典概型中的基本事件都是互斥的.(2)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测2314565.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.长度构成事件𝐴的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2314566.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()card(𝐴)card(𝐼).×√×√√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234152.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB90°的概率为()A.π8B.1-π8C.π4D.1-π4答案解析解析关闭如图,正方形ABCD的边长为4,图中白色区域是以AB为直径的半圆,当M落在半圆内时,∠AMB90°,所以使∠AMB90°的概率为𝑆半圆𝑆正方形=12×π×2216=π8.故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234153.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率是.答案解析解析关闭设正方体的棱长为2a,其体积V1=(2a)3=8a3,内切球直径为2a,其体积V2=4π3R3=4π3a3.利用几何概型公式结合题意可得,这只蚊子安全飞行的概率P=𝑉2𝑉1=π6.答案解析关闭π6第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234154.在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案解析解析关闭直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=|5𝑘|√1+𝑘23,解得-34k34,而k∈[-1,1],所以发生的概率为34--342=34.答案解析关闭34第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为.答案解析解析关闭从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,基本事件总数n=6,这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有(1,2),(2,4),共2个,故这两个数的和为3的倍数的概率P=26=13.答案解析关闭13第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点1简单的古典概型的概率例1(1)(2019江苏,6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.(2)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中信a没有放入A中的概率是.思考如何求古典概型的概率?答案解析解析关闭(1)由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C52=10种选法.若选出的2人中恰有一名女生,有C31×C21=6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法.所以所求的概率为P=6+110=710.(2)将四封不同的信随机放入4个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法有A44=24(种),其中信a放入A中的结果有A33=6(种),故“信a没有放入A中”的概率为1-A33A44=1-624=1-14=34.答案解析关闭(1)710(2)34第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得1.求古典概型的思路:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.2.基本事件个数的确定方法:(1)列举法:此法适用于基本事件个数较少的古典概型,列举时要按某一顺序做到不重复、不遗漏.(2)画树状图法:此法适用于有顺序的问题及较复杂问题中对基本事件数的探求.(3)排列、组合法:此法适用于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练1(1)从1,2,3,4,5中选出三个不同的数字组成五位数,则其中有两个数字各用两次(例如12332)的概率为()(2)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为.A.25B.35C.47D.57答案解析解析关闭(1)从1,2,3,4,5中选出三个不同的数字有C53种选法,选出的数组成五位数有两种情况,一是有1个数字用了3次能组成C31C53A22个五位数(组成五位数可看作三个数字填5个空),二是有一个数字用1次,另两个数字各用两次能组成C31C52C32.故其中有两个数字各用两次的概率为C53C31C52C32C53(C31C53A22+C31C52C32)=C52C32C53A22+C52C32=C32A22+C32=35.(2)总的基本事件数为C104=210,恰有两只成双的取法是C51·C42·C21·C21=120.故从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为120210=47.答案解析关闭(1)B(2)47第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点2古典概型的交汇问题(多考向)考向一古典概型与平面向量的交汇思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?例2连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是()A.512B.12C.712D.56答案解析解析关闭∵cosθ=𝑚-𝑛√𝑚2+𝑛2·√2,𝜃∈0,π2,∴m≥n满足条件,又m=n的概率为636=16;mn的概率为1536=512.∴𝜃∈0,π2的概率为16+512=712.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考向二古典概型与解析几何的交汇例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?答案解析解析关闭依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)共有6×6=36个,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足2𝑎𝑎2+𝑏2≤√2,则满足a≤b的数组(a,b)有(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,2),…,(2,6),(3,3),…,(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),共6+5+4+3+2+1=21(种),因此所求的概率为2136=712.答案解析关闭712第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考向三古典概型与函数的交汇例4设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=12ax2+bx+1.(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解：(1)由题意,得-𝑏2×12𝑎≥-1,即b≤a.而(a,b)共有C21·C21=4(种),满足b≤a的有3种,故概率为34.(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为.16第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和mn对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.3.开口向上的二次函数f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成f(x)的图象的对称轴大于等于-1,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事件数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是()A.14B.16C.518D.29(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x∈{-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b的概率为;a⊥b的概率为.D1929第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点4考点5考点6(3)设集合A={x|x2-3x-100,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b且ab≠0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线的概率为.(4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-1,1,2,3,4,5},b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内是增函数的概率为.𝑥2𝑎+𝑦2𝑏=11549第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解析:(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),基本事件总数N=6×6=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,故点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是P=836=29.故选D.(2)由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31·