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第八单元考点一考点二核心素养专项提升第十二章概率第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-2-第八单元考点一考点二核心素养专项提升12.1随机事件的概率第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测234151.事件的分类确定事件必然事件在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,的事件叫做相对于条件S的随机事件可能发生也可能不发生第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二fn(A)=𝑛𝐴𝑛为-5-知识梳理双基自测234152.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的,称事件A出现的比例为事件A出现的.(2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用______来估计概率P(A).频数频率频率fn(A)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234153.事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A,则事件B,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)相等关系若B⊇A,且,则称事件A与事件B相等并事件(和事件)若某事件发生,,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)发生一定发生B⊇A(或A⊆B)A⊇BA=B当且仅当事件A发生或事件B发生A∪B(或A+B)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测23415定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生,,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)互斥事件若A∩B为事件,则称事件A与事件B互斥对立事件若A∩B为事件,A∪B为,则称事件A与事件B互为对立事件(Ω为必然事件)当且仅当事件A发生且事件B发生A∩B(或AB)不可能A∩B=⌀不可能必然事件A∩B=⌀,且A∪B=Ω第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234154.互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234155.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=.(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=,P(A)=.0≤P(A)≤110P(A)+P(B)11-P(B)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.()××√√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234152.将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234153.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶答案解析解析关闭事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-13-知识梳理双基自测234154.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案解析解析关闭令“甲、乙下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B,“甲输”为事件C,则“甲不输”为事件𝐶.∵P(A)=12,P(B)=13,∴P(C)=1-12−13=16.∴P(𝐶)=1-16=56.故甲不输的概率为56.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-14-知识梳理双基自测234155.从一副不包括大小王的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)=(结果用最简分数表示).答案解析解析关闭∵P(A)=152,P(B)=1352,且A与B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=152+1352=1452=726.答案解析关闭726第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点1随机事件的关系例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件答案解析解析关闭(1)根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=⌀,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.答案解析关闭(1)D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3(2)若从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有.(填序号)①至少有一个红球,都是红球;②至少有一个红球,都是白球;③至少有一个红球,至少有一个白球;④恰有一个红球,恰有两个红球.思考如何判断随机事件之间的关系?答案解析解析关闭(2)由互斥与对立的关系及定义知,①不互斥,②对立,③不互斥,④互斥不对立.答案解析关闭(2)④第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.若两个事件所含的结果组成的集合的交集为空集,则这两事件互斥;事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.𝐴第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练1(1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡(2)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.则下列两个事件是互斥事件的有;是对立事件的有.(填序号)①A与C;②B与E;③B与C;④C与E.310,则概率是710②②A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:(1)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.(2)①由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,因此A与C不是互斥事件.②事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,因此B与E还是对立事件.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3③事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,因此B与C不是互斥事件.④由③的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点2随机事件的频率与概率例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.8,2+16+3690因此Y大于零的概率的估计值为0.8.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率.2.求随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率;(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3对点训练2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100名从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间/min10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3(1)试估计40min内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.故用频率估计相应的概率为44100=0.44.解：(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-27-考点1考点2考点3(2)选择L1的有60人