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第八单元考点一考点二核心素养专项提升3.3导数的综合应用第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-2-考点1考点2考点3利用导数证明不等式例1设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1𝑥-1ln𝑥x;(3)设c1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx.思考利用导数证明不等式的基本思路是什么?(1)解：(导数与函数的单调性)由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0解得x=1.当0x1时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f'(x)0,f(x)单调递减.1𝑥第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-3-考点1考点2考点3(2)证明：由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,lnxx-1.故当x∈(1,+∞)时,lnxx-1,ln1𝑥1𝑥-1,即1𝑥-1ln𝑥x.(3)证明：由题设c1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0,解得x0=ln𝑐-1ln𝑐ln𝑐.当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1𝑐-1ln𝑐c,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x1时,g(x)0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-4-考点1考点2考点3解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)g(x),可构造函数h(x)=f(x)-g(x),证明h(x)min0即可,也可证明f(x)maxg(x)min.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-5-考点1考点2考点3对点训练1(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=ax2-x+xlnx,a∈R.(1)若f(x)在其定义域上单调递减,求a的取值范围;12(2)若f(x)存在两个不同的极值点x1与x2,且x2≥ex1,求证:3𝑥2-𝑥1𝑥12-𝑥222a.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-6-考点1考点2考点3(1)解:由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+ax.因为f(x)在其定义域上单调递减,所以lnx+ax≤0在区间(0,+∞)内恒成立.即a≤-ln𝑥𝑥恒成立.令g(x)=-ln𝑥𝑥,则g'(x)=ln𝑥-1𝑥2.当x变化时,g(x),g'(x)随x的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)min=-1e.所以a≤-1e.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-7-考点1考点2考点3(2)证明:若f(x)存在两个不同的极值点x1与x2,且x2≥ex10,则欲证3𝑥2-𝑥1𝑥12-𝑥222a,只需证2a(𝑥12−𝑥22)3x2-x1.只需证2a(𝑥12−𝑥22)2(x2-x1)+(x1+x2).只需证a(x1-x2)+𝑥1-𝑥2𝑥1+𝑥212.因为f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-lnx1,ax2=-lnx2,所以a(x1-x2)=lnx2-lnx1=ln𝑥2𝑥1,所以a(x1-x2)+𝑥1-𝑥2𝑥1+𝑥2=ln𝑥2𝑥1+1-𝑥2𝑥11+𝑥2𝑥1.令𝑥2𝑥1=t,则t≥e,则a(x1-x2)+𝑥1-𝑥2𝑥1+𝑥2=lnt+1-𝑡1+𝑡.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-8-考点1考点2考点3设h(t)=lnt+1-𝑡1+𝑡,则h'(t)=1+𝑡2𝑡(1+𝑡)20,可知函数h(t)在区间[e,+∞)内单调递增,所以h(t)≥h(e)=1+1-e1+e=21+e21+3=12,即a(x1-x2)+𝑥1-𝑥2𝑥1+𝑥212.所以3𝑥2-𝑥1𝑥12-𝑥222a成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-9-考点1考点2考点3考点2求恒成立问题中的参数范围例2设f(x)=xex,g(x)=x2+x.(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值;(2)若任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1x2,有m[f(x1)-f(x2)]g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?12解:(1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+x2+x,∴F'(x)=(x+1)(ex+1),令F'(x)0,解得x-1,令F'(x)0,解得x-1,∴F(x)在区间(-∞,-1)内递减,在区间(-1,+∞)内递增.故F(x)min=F(-1)=-12−1e.12第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3(2)∵任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1x2,有m[f(x1)-f(x2)]g(x1)-g(x2)恒成立,∴mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)恒成立.令h(x)=mf(x)-g(x)=mxex-12·x2-x,x∈[-1,+∞),即只需h(x)在区间[-1,+∞)内递增即可.故h'(x)=(x+1)(mex-1)≥0在区间[-1,+∞)恒成立,故m≥1e𝑥,而1e𝑥≤e,故m≥e.解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3对点训练2(2019河北衡水中学高三下学期大联考)已知函数f(x)=excosx,x∈.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≤ax+1恒成立,试求正实数a的取值范围.0,π2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3解:(1)由f(x)=excosx,x∈0,π2,得f'(x)=ex(cosx-sinx),x∈0,π2.令f'(x)=0,得x=π4,则当x∈0,π4时,f'(x)0;当x∈π4,π2时,f'(x)0.故f(x)的单调递增区间为0,π4,单调递减区间为π4,π2.(2)令g(x)=ax+1-excosx,则g'(x)=a-ex(cosx-sinx)=a-2excos𝑥+π4.令h(x)=a-2excos𝑥+π4,则h'(x)=2exsinx≥0在区间0,π2上恒成立,故h(x)在区间0,π2上单调递增,所以h(x)≥h(0)=a-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3①当a≥1时,a-1≥0,则h(x)≥0,即g'(x)≥0,所以g(x)在区间0,π2上单调递增,即g(x)≥g(0)=0,所以excosx≤ax+1在区间0,π2上恒成立.②当0a1时,h(0)=a-10,hπ2=a+eπ20,h(x)在区间0,π2上单调递增,故在区间0,π2上存在唯一的x0,使得h(x0)=0,即g'(x0)=0.所以g(x)在区间[0,x0]上单调递减,在区间𝑥0,π2上单调递增.因为x00,所以g(x0)g(0)=0,所以excosx≤ax+1不恒成立.综上所述,正实数a的取值范围是[1,+∞).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点3求与函数零点有关的参数范围例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(ⅰ)若a≤0,则f‘(x)0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.(ⅱ)若a0,则由f'(x)=0得x=-lna.当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)0;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)0,所以f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.(ⅱ)若a0,由(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-1𝑎+lna.①当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点;②当a∈(1,+∞)时,由于1-1𝑎+lna0,即f(-lna)0,故f(x)没有零点;③当a∈(0,1)时,1-1𝑎+lna0,即f(-lna)0.又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2-2e-2+20,故f(x)在区间(-∞,-lna)内有一个零点.设正整数n0满足n0ln3𝑎-1,则f(n0)=e𝑛0(ae𝑛0+a-2)-n0e𝑛0-n02𝑛0-n00.由于ln3𝑎-1-lna,因此f(x)在区间(-lna,+∞)内有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.②设a0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0,所以f(x)在区间(-∞,1)单调递减,在区间(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且bln𝑎2,则f(b)𝑎2(b-2)+a(b-1)2=a𝑏2-32𝑏0,故f(x)存在两个零点.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3③设a0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)0,因此f(x)在区间(1,+∞)单调递增.又当x≤1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a-e2,则ln(-2a)1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)0.因此f(x)在区间(1,ln(-2a))单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(2)证明:不妨设x1x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在区间(-∞,1)单调递减,所以x1+x22等价于f(x1)f(2-x2),即f(2-x2)0.由于f(2-x2)=-x2e2-𝑥2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)e𝑥2+a(x2-1)2=