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第八单元考点一考点二核心素养专项提升7.4直接证明与间接证明第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止成立充分第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测21续表内容综合法分析法证明思路由因导果执果索因证明流程P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字表达因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测212.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.不成立矛盾原命题成立第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.()(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过程.()(6)证明不等式√2+√7√3+√6最合适的方法是分析法.()√×××√√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234152.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法答案解析解析关闭因为证明过程是“从左往右”,即由条件推出结论.故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234153.已知a=lg2+lg5,b=ex(x0),则a与b的大小关系为()A.abB.abC.a=bD.a≤b答案解析解析关闭当x0时,0ex1,即0b1.又a=lg2+lg5=1.故ab.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭因为“关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,所以要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.答案解析关闭A4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P15T(2))用反证法证明“100个球放在90个盒子里,至少有一个盒子里不少于两个球”应假设.答案解析解析关闭因为“至少有一个盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以应填“每个盒子里都少于两球”.答案解析关闭每个盒子里都少于两球第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3考点1综合法的应用(多考向)考向一数列中的证明例1设数列{an}的前n项和为Sn,已知3an-2Sn=2.(1)证明{an}是等比数列并求出通项公式an;思考哪些问题的证明适合用综合法?(2)求证:𝑆𝑛+12-SnSn+2=4×3n.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3证明:(1)因为3an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.因为Sn+1-Sn=an+1,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=3,所以{an}是等比数列.当n=1时,3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以{an}的通项公式an=2×3n-1.(2)由(1)可得Sn=3n-1,Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1,故𝑆𝑛+12-SnSn+2=(3n+1-1)2-(3n-1)(3n+2-1)=4×3n,即𝑆𝑛+12-SnSn+2=4×3n.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考向二立体几何中的证明例2如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1⊥平面ABCD.求证:(1)BD⊥C1C;(2)C1C∥平面A1BD.思考在用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到什么数学方法?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3证明:(1)连接AC,∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1.∵CC1⊂平面ACC1A1,∴BD⊥CC1.(2)连接AC和A1C1,设AC∩BD=E.∵底面ABCD是菱形,∴E为菱形ABCD的中心,由棱台的定义及AB=2A1B1,可得EC∥A1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1为平行四边形,∴CC1∥A1E.∵CC1⊄平面A1BD,A1E⊂平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考向三不等式中的证明思考综合法证明的特点是什么?例3设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:ab+bc+ac≤13.证明由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.故3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到转化法,例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直.3.用综合法证明的特点是“由因导果”,即从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,n∈N*,a1=2.①证明:数列{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;②设bn=3𝑛𝑆𝑛-𝑛+1(n∈N*)的前n项和为Tn,证明:Tn6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3(1)①解因为Sn=an+1+n-2,所以当n≥2时,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,两式相减,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.设cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n≥2).又Sn=an+1+n-2,则an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.综上,对于正整数n,cn+1=2cn都成立,即数列{an-1}是等比数列,其首项a1-1=1,公比q=2.所以an-1=1×2𝑛-1,故an=2𝑛-1+1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3②证明由Sn=an+1+n-2,得Sn-n+2=an+1=2n+1,即Sn-n+1=2n,所以bn=3𝑛2𝑛.所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=32+622+…+3𝑛2𝑛,(*)2×(*),得2Tn=3+62+3×322+…+3𝑛2𝑛-1,(**)(**)-(*),得Tn=3+32+322+…+32𝑛-1−3𝑛2𝑛=3×1+12+122+…+12𝑛-1−3𝑛2𝑛=3×1-12𝑛1-12−3𝑛2𝑛=6-3𝑛+62𝑛.因为3𝑛+62𝑛0,所以Tn=6-3𝑛+62𝑛6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(2)(2019福建莆田模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.①若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;②求证:EC∥平面PAB.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3(2)证明:①在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=1,∴AC=2.又PA=2AB=2,∴PA=CA.∵F为PC的中点,∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∴CD⊥PC.∵E为PD的中点,F为PC的中点,∴EF∥CD,∴EF⊥PC.∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3②证法一:如图,取AD的中点M,连接EM,CM,则EM∥PA.∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴EM∥平面PAB.∵∠CAD=60°,且易知AC=AM=2,∴△ACM是等边三角形,∴∠ACM=60°,而∠BAC=60°,∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.∵EC⊂平面EMC,∴EC∥平面PAB.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3证法二:如图,延长DC,AB,交于点N,连接PN.∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C为ND的中点.∵E为PD的中点,∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,∴EC∥平面PAB.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(3)证明因为𝑎2𝑏+b≥2a,𝑏2𝑐+c≥2b,𝑐2𝑎+a≥2c,所以𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎+(a+b+c)≥2(a+b+c),即𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c.所以𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥1.(3)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3考点2分析法的应用例4已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边,求证:1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐.思考哪些问题的证明适合用分析法?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3证明要证1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐,即证𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐=3,化简,得𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1,即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),所以只需证c2+a2=b2+ac.因为△AB