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第八单元考点一考点二核心素养专项提升7.3合情推理与演绎推理第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.合情推理(1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.类比第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测21(2)归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理由两类对象具有和其中一类对象的,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由到、由到的推理由到的推理部分对象全部对象个别事实一般结论某些类似特征某些已知特征部分整体个别一般特殊特殊第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测21归纳推理类比推理一般步骤(1)通过个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测212.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到_________的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.特殊第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.()××××√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234152.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a20,则这个演绎推理出错在()A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错答案解析解析关闭本题中大前提是错误的,因为0的平方不大于0,所以选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234153.如图,根据图中的数构成的规律可知a表示的数是()A.12B.48C.60D.144答案解析解析关闭由题干图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.故a=12×12=144.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234154.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2名优秀,2名良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案解析解析关闭因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一名优秀一名良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一名优秀一名良好,所以甲、丁的成绩也是一名优秀一名良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234155.在平面内,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为.1∶8第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3考点1归纳推理例1(1)(2019广东广州执信中学高三测试)将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,……则第20层正方体的个数是()A.420B.440C.210D.220答案解析解析关闭观察可得,第1层正方体的个数为1,第2层正方体的个数为3,比第1层多2个,第3层正方体的个数为6,比第2层多3个;……可得,每一层比上一层多的个数依次为2,3,4,5,…,故第20层的正方体个数为1+2+3+4+…+20=(1+20)×202=210,故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3(2)有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523……111725………1927…………29……………………………则第30行从左到右第3个数是.思考如何进行归纳推理?1051第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解析:先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60==929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.30×(2+60)2-1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解题心得1.归纳推理的类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点32.破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);(2)归纳推理,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);(3)检验,得结论,对所得的一般性命题进行检验.一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为𝑛(𝑛+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数:N(n,3)=12n2+12n,正方形数:N(n,4)=n2,五边形数:N(n,5)=32n2-12n,六边形数:N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(10,24)=.1000第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3(2)如图所示,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测关于n的等式为.4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解析:(1)由题意可得N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以12为首项,12为公差的等差数列.数列{bk}是以12为首项,-12为公差的等差数列.则N(n,24)=11n2-10n,当n=10时,N(10,24)=11×102-10×10=1000.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(2)由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,以4为首项的等差数列,右边是正偶数的平方,故第n个式子为:4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点2类比推理例2(1)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+…中,“…”即代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1𝑥=x求得x=√5+12.类比上述过程,则3+23+2√…=()A.3B.√13+12C.6D.2√2A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)(2019辽宁模拟)在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似地,在立体几何中,与正四面体的四个面所在平面的距离相等的点()A.有且只有一个B.有且只有三个C.有且只有四个D.有且只有五个思考如何进行类比推理?D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解析:(1)由题意,结合所给的例子类比推理可得√3+2𝑥=x(x≥0),整理得(x+1)(x-3)=0,解得x=3,故3+23+2√…=3.(2)如图①所示,与△ABC的三条边所在直线的距离相等的点为O1,O2,O3,O4,其中O1是△ABC的内切圆的圆心,O2是与AC,AB的延长线和线段BC都相切的圆的圆心,O3是与CA,CB的延长线和线段AB都相切的圆的圆心,O4是与BC,BA的延长线和线段AC都相切的圆的圆心.图①第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3类似地,如图②所示,正四面体P-ABC的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等,将正四面体P-ABC延拓为正四面体P-DEF,在所得三棱台ABC-DEF内存在一个球,其球心到平面ABC,平面PDE,平面PEF,平面PDF的距离相等.同理,分别将四面体A-PBC,B-PAC,C-PAB进行延拓均可得到一个满足题意的点,因此满足题意的点有且只有五个,故选D.图②第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3对点训练2(1)若数列{an}是等差数列,则数列{bn}𝑏𝑛=𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为()A.dn=𝑐1+𝑐2+…+𝑐𝑛𝑛B.dn=𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛C.dn=c1n+c2n+…+cnnn𝑛D.dn=𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3(2)在平面几何中,“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形的面积为S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体A-BCD的体积为”.12V四面体A-BCD=13(S1+S2+S3+S4)r第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-27-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数可以类比几何平均数,故dn的表达式为d