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第八单元考点一考点二核心素养专项提升7.2基本不等式及其应用第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.基本不等式:𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.(3)其中𝑎+𝑏2称为正数a,b的算术平均数,𝑎𝑏称为正数a,b的几何平均数.基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.a=b第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是2𝑝(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时,xy有最值是𝑠24(简记:和定积最大).x=y小x=y大第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2313.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤𝑎+𝑏22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3)𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4)𝑏𝑎+𝑎𝑏≥(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.2ab2第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)当a≥0,b≥0时,𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏.()(2)两个不等式a2+b2≥2ab与𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏成立的条件是相同的.()(3)函数y=x+1𝑥的最小值是2.()(4)若a0,则a3+1𝑎2的最小值为2𝑎.()(5)函数f(x)=cosx+4cos𝑥,x∈0,π2的最小值等于4.()(6)(a+b)2≥4ab(a,b∈R)()××××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234152.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式,恒成立的是()A.a2+b22abB.a+b≥2𝑎𝑏C.1𝑎+1𝑏2𝑎𝑏D.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2答案解析解析关闭∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a0,b0时,明显错误;对于D,∵ab0,∴𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2𝑏𝑎·𝑎𝑏=2(当且仅当a=b时,等号成立).答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234153.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lga·lgb的最大值是()A.0B.1C.2D.52答案解析解析关闭∵a1,b1,∴lga0,lgb0.∴lga·lgb≤(lg𝑎+lg𝑏)24=(lg𝑎𝑏)24=1,当且仅当a=b=10时取等号.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234154.若直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案解析解析关闭∵直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1过点(1,2),∴1𝑎+2𝑏=1.∵a0,b0,∴2a+b=(2a+b)1𝑎+2𝑏=4+𝑏𝑎+4𝑎𝑏≥4+2𝑏𝑎·4𝑎𝑏=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案解析关闭8第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234155.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案解析解析关闭一年的总运费与总存储费用之和为4x+600𝑥×6=4𝑥+900𝑥≥4×2900=240,当且仅当x=900𝑥,即x=30时等号成立.答案解析关闭30第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?考点1利用基本不等式证明不等式例1(1)设a,b,c都是正数,求证:𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c.(2)已知a0,b0,a+b=1,求证:1𝑎+1𝑏+1𝑎𝑏≥8.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3证明(1)∵a,b,c都是正数,∴𝑏𝑐𝑎,𝑐𝑎𝑏,𝑎𝑏𝑐都是正数.∴𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏≥2c,当且仅当a=b时等号成立,𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥2a,当且仅当b=c时等号成立,𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑎≥2b,当且仅当a=c时等号成立.三式相加,得2𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥2(a+b+c),即𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3(2)∵a+b=1,∴1𝑎+1𝑏+1𝑎𝑏=21𝑎+1𝑏.∵a+b=1,a0,b0,∴1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎+𝑎+𝑏𝑏=2+𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2+2=4当且仅当𝑎=𝑏=12时,等号成立.∴1𝑎+1𝑏+1𝑎𝑏≥8当且仅当𝑎=𝑏=12时,等号成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3对点训练1已知a0,b0,a+b=1,求证:1+1𝑎1+1𝑏≥9.证明(方法一)∵a0,b0,a+b=1,∴1+1𝑎=1+𝑎+𝑏𝑎=2+𝑏𝑎.同理,1+1𝑏=2+𝑎𝑏.∴1+1𝑎1+1𝑏=2+𝑏𝑎2+𝑎𝑏=5+2𝑏𝑎+𝑎𝑏≥5+4=9,当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=b=12时,等号成立.∴1+1𝑎1+1𝑏≥9,当且仅当a=b=12时,等号成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(方法二)1+1𝑎1+1𝑏=1+1𝑎+1𝑏+1𝑎𝑏=1+𝑎+𝑏𝑎𝑏+1𝑎𝑏=1+2𝑎𝑏,∵a,b为正数,a+b=1,∴ab≤𝑎+𝑏22=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.于是1𝑎𝑏≥4,2𝑎𝑏≥8,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴1+1𝑎1+1𝑏≥1+8=9,当且仅当a=b=12时,等号成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点2利用基本不等式求最值(多考向)考向一求不含等式条件的函数最值例2(1)下列命题正确的是()A.函数y=x+1𝑥的最小值为2B.函数y=𝑥2+3𝑥2+2的最小值为2C.函数y=2-x-4𝑥(x0)的最大值为-2D.函数y=2-x-4𝑥(x0)的最小值为-2(2)若函数f(x)=x+1𝑥-2(x2)在x=a处取最小值,则a=.思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?(3)设0x32,则函数y=4x(3-2x)的最大值为.C392第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解析:(1)对于A,当x0时,函数y=x+1𝑥无最小值,故A错误;对于B,函数y=𝑥2+3𝑥2+2=𝑥2+2+1𝑥2+2=𝑥2+2+1𝑥2+2≥2,当且仅当x2=-1时取等号,显然不成立,故B错误;对于C,y=2-x-4𝑥=2-𝑥+4𝑥≤2-2𝑥·4𝑥=-2(x0),当且仅当x=2时取等号,故最大值为-2,故C正确,D错误.故选C.(2)因为x2,所以x-20.所以f(x)=x+1𝑥-2=(x-2)+1𝑥-2+2≥2(𝑥-2)·1𝑥-2+2=4,当且仅当x-2=1𝑥-2,即x=3时,等号成立.所以当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3(3)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22𝑥+(3-2𝑥)22=92,当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立.因为34∈0,32,所以函数y=4x(3-2x)0𝑥32的最大值为92.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(2)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.思考如何应用基本不等式求含有已知等式的函数最值?考向二求含有等式条件的函数最值例3(1)(2019河北武邑中学高三一模)已知函数y=loga(x+3)-1(a0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则1𝑚+1𝑛的最小值为()A.3-22B.5C.3+22D.3+26C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解析:(1)由已知得A(-2,-1),代入mx+ny+1=0,得-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以1𝑚+1𝑛=1𝑚+1𝑛(2m+n)=3+𝑛𝑚+2𝑚𝑛≥3+2𝑛𝑚×2𝑚𝑛=3+22,当且仅当m=12+2,n=12+1时等号成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)(方法一)由已知得x=9-3𝑦1+𝑦.∵x0,y0,∴y3,∴x+3y=9-3𝑦1+𝑦+3y=121+𝑦+(3y+3)-6≥2121+𝑦·(3𝑦+3)-6=6,当且仅当121+𝑦=3y+3,即y=1,x=3时等号成立,此时(x+3y)min=6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3(方法二)∵x0,y0,x+3y+xy=9,∴9-(x+3y)=xy=13x·(3y)≤13·𝑥+3𝑦22,当且仅当x=3y时等号成立.设x+3y=t0,则t2+12t-108≥0,即(t-6)(t+18)≥0,又t0,∴t≥6.∴当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考向三已知不等式恒成立求参数范围思考已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是什么?例4当x∈R时,32𝑥-(k+1)3x+20恒成立,则k的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,22-1)C.(-1,22-1)D.(-22-1,22-1)答案解析解析关闭由32𝑥-(k+1)·3x+20,解得k+13x+23𝑥.∵3x+23𝑥≥22当且仅当3𝑥=23𝑥,即𝑥=log32时,等号成立,∴3x+23𝑥的最小值为22.又当x∈R时,32x-(k+1)3x+20恒成立,∴当x∈R时,k+13𝑥+23𝑥min,即k+122,即k22-1.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的等式,然后再利用基本不等式.2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.3.(1)已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法,且有af(x)恒成立⇔af(x)max,af(x)恒成立⇔af(x)min;(2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知x1,y1,且lgx,2,l