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第八单元考点一考点二核心素养专项提升6.4数列求和第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.基本数列求和方法(1)等差数列求和公式:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.(2)等比数列求和公式:Sn=𝑛𝑎1,𝑞=1,𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,𝑞≠1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测231(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:①1𝑛(𝑛+𝑘)=1𝑘1𝑛-1𝑛+𝑘;②1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=1212𝑛-1-12𝑛+1;③1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)=121𝑛(𝑛+1)-1(𝑛+1)(𝑛+2);④1𝑛+𝑛+𝑘=1𝑘(𝑛+𝑘−𝑛).第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2313.常用求和公式(1)1+2+3+4+…+n=𝑛(𝑛+1)2;(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;(3)12+22+32+…+n2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6;(4)13+23+33+…+n3=𝑛(𝑛+1)22.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法求得.()(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()()(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25.()(1)当n≥2时,1𝑛2-1=1𝑛-1−1𝑛+1.()(5)已知等差数列{an}的公差为d,则1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑑1𝑎𝑛-1𝑎𝑛+1.××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234152.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2答案解析解析关闭Sn=2(1-2𝑛)1-2+𝑛(1+2𝑛-1)2=2n+1-2+n2.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234153.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15答案解析解析关闭因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234154.设an=1+2+3+…+n,则Sn=1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛=.答案解析解析关闭∵an=1+2+3+…+n=𝑛(𝑛+1)2,∴1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+1)=21𝑛-1𝑛+1.∴Sn=21-12+12-13+13-14+…+1𝑛-1𝑛+1=21-1𝑛+1=2𝑛𝑛+1.答案解析关闭2𝑛𝑛+1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234155.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.∑𝑘=1𝑛1Sk答案解析解析关闭设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知𝑎1+2𝑑=3,4𝑎1+4×32𝑑=10,解得𝑎1=1,𝑑=1.所以Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑛(1+𝑛)2.所以1𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+1)=21𝑛-1𝑛+1.所以∑𝑘=1𝑛1Sk=21-12+12-13+…+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.答案解析关闭2𝑛𝑛+1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3考点1分组求和与并项求和例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3解(1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.故3𝑞=3+3𝑑,3𝑞2=3+12𝑑⇒𝑞=1+𝑑,𝑞2=1+4𝑑⇒q=3(q=1舍去).当n为偶数时,Sn=n+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12+n-32;当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12-n-72.∴Sn=3𝑛+12+𝑛-32,𝑛为偶数,3𝑛+12-𝑛-72,𝑛为奇数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.an=𝑏𝑛,𝑛为奇数,𝑐𝑛,𝑛为偶数第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3对点训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=2𝑆𝑛,𝑛为奇数,𝑏𝑛,𝑛为偶数,设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,∴𝑞+3+3+𝑑=10,3+4𝑑-2𝑞=3+2𝑑,∴𝑑=2,𝑞=2.∴an=2n+1,bn=2n-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(2)由(1)知,Sn=𝑛(3+2𝑛+1)2=n(n+2).∴cn=1𝑛-1𝑛+2,𝑛为奇数,2𝑛-1,𝑛为偶数,∴T2n=1-13+13−15+…+12𝑛-1−12𝑛+1+(21+23+25+…+22n-1)=1+22𝑛+13−12𝑛+1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点2错位相减法求和例2已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列{an}的通项公式;思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?(2)设bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,所以a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2𝑛-12;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2𝑛2.所以数列{an}的通项公式为an=2𝑛-12,𝑛为奇数,2𝑛2,𝑛为偶数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3(2)由(1)得bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1=𝑛2𝑛-1.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12𝑛-2+n×12𝑛-1,12Sn=1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12𝑛-1+n×12𝑛,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+…+12𝑛-1−𝑛2𝑛=1-12𝑛1-12−𝑛2𝑛=2-22𝑛−𝑛2𝑛,整理得,Sn=4-𝑛+22𝑛-1.所以数列{bn}的前n项和为4-𝑛+22𝑛-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解题心得1.适用范围:一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法.2.解题步骤:(1)把数列的通项化为等差数列、等比数列的通项的积,并求出等比数列的公比.(2)先列出前n项和的表达式,然后乘等比数列的公比得出一个新的表达式,两式作差求解.3.注意事项:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,则应分公比q=1和q≠1两种情况求解.(4)两式相减后的式子共有(n+1)项,且最后一项要变号,中间的(n-1)项为等比数列.(5)中间的(n-1)项求和时可利用公式Sn=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞,避免利用公式Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞因项数弄错而致误.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3对点训练2(2019广东广州高三二模)已知{an}是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4=3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)(方法一)设等比数列{an}的公比为q.因为a2+a3=4,a1a4=3,所以𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=4,𝑎1·𝑎1𝑞3=3,解得𝑎1=9,𝑞=13或𝑎1=13,𝑞=3.因为{an}是递增的等比数列,所以a1=13,q=3.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(方法二)设等比数列{an}的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4=a2a3=3,所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.解得𝑎2=1,𝑎3=3或𝑎2=3,𝑎3=1.因为{an}是递增的等比数列,所以a2=1,a3=3,则q=3.所以数列{an}的通项公式为