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第八单元考点一考点二核心素养专项提升9.8直线与圆锥曲线第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23411.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.由𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0,𝑓(𝑥,𝑦)=0消元,第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2341如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当Δ0时,直线和圆锥曲线没有公共点.=第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23412.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=或|P1P2|=.(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距离公式).1+𝑘2·|x1-x2|1+1𝑘2|y1-y2|第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23413.圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0;在双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0;在抛物线y2=2px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=𝑝𝑦0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.(4)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(5)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(6)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2341(7)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(8)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(9)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ0.()|AB|=1+𝑡2|y1-y2|.×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234152.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案解析解析关闭结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0)答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234153.若斜率为2的直线与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,3)D.(3,+∞)答案解析解析关闭∵斜率为2的直线与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1恒有两个公共点,根据双曲线的几何性质可得,𝑏𝑎2,∴e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎21+2=3,∴双曲线离心率的取值范围是(3,+∞).答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234154.已知斜率为1的直线过椭圆𝑥24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为.答案解析解析关闭右焦点(3,0),直线AB的方程为y=x-3,由𝑦=𝑥-3,𝑥24+𝑦2=1得5x2-83x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=835,x1x2=85,故|AB|=(1+𝑘2)8352-4×85=85.答案解析关闭85第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.椭圆𝑥22+y2=1的弦被点12,12平分,则这条弦所在的直线方程是.答案解析解析关闭设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1,y1+y2=1.∵A,B在椭圆上,∴𝑥122+𝑦12=1,𝑥222+𝑦22=1.两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0,即𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑥1+𝑥22(𝑦1+𝑦2)=-12,即直线AB的斜率为-12.∴直线AB的方程为y-12=-12𝑥-12,即2x+4y-3=0.答案解析关闭2x+4y-3=0第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4考点1直线与圆锥曲线的位置关系例1已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.思考如何灵活应用直线与圆锥曲线位置关系?17第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4解:(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F𝑝2,0,∴|CF|=𝑝2+12+(0-1)2=17,解得p=6.∴抛物线E的方程为y2=12x.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4(2)设直线l的方程为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).与抛物线方程联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1·y2=-12t,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CP⊥l,且MP经过圆心C(-1,1)时,M到动直线l的距离取得最大值.kMP=kCP=1-0-1-12=-113,∴m=113,此时直线l的方程为x=113y+12,即为13x-y-156=0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4解题心得直线与圆锥曲线位置关系的判断方法:用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4(1)求椭圆C的标准方程;(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标.对点训练1已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x2=-43y的焦点.解(1)设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),由题意,得b=3.又𝑐𝑎=12,解得a=2,c=1,故椭圆C的标准方程为𝑥24+𝑦23=1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1.由𝑥24+𝑦23=1,𝑦=𝑘(𝑥-2)+1,得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.①因为直线l与椭圆相切,所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0.整理,得32(6k+3)=0,解得k=-12.所以直线l的方程为y=-12(x-2)+1=-12x+2.将k=-12代入①式,可以解得M点的横坐标为1,故切点M的坐标为1,32.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4考点2圆锥曲线中的弦长、中点弦问题(多考向)考向一弦长问题例2已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足|𝐴𝐵||𝐶𝐷|=534,求直线l的方程.思考如何求圆锥曲线的弦长?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4解(1)由题设知𝑏=3,𝑐𝑎=12,𝑏2=𝑎2-𝑐2,解得a=2,b=3,c=1,∴椭圆的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=2|𝑚|5,由d1得|m|52.(*)∴|CD|=21-𝑑2=21-45𝑚2=255-4𝑚2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4设A(x1,y1),B(x2,y2),由𝑦=-12𝑥+𝑚,𝑥24+𝑦23=1得x2-mx+m2-3=0,由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.∴|AB|=1+-122[𝑚2-4(𝑚2-3)]=1524-𝑚2.由|𝐴𝐵||𝐶𝐷|=534,得4-𝑚25-4𝑚2=1,解得m=±33,满足(*).∴直线l的方程为y=-12x+33或y=-12x-33.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点4考向二中点弦问题思考解中点弦问题常用的求解方法是什么?例3过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案:22第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考点4解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,∴(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+𝑥2)𝑎2+(𝑦1-𝑦2)(𝑦1+𝑦2)𝑏2=0,∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2𝑎2·𝑥1+𝑥2𝑦1+𝑦2.∵𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-𝑏2𝑎2=-12.∴a2=2b2.又∵b2=