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第八单元考点一考点二核心素养专项提升9.5椭圆第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.椭圆的定义平面内到两个定点F1,F2的距离的和(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的.注:若点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)当时,点M的轨迹是椭圆;(2)当时,点M的轨迹是线段;(3)当时,点M的轨迹不存在.等于常数焦点2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测212.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测21标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为;短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=离心率e=∈(0,1)a,b,c的关系2a2b2c𝑐𝑎c2=a2-b2第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.()(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()6×√√×√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234152.设P是椭圆𝑥25+𝑦23=1上的动点,则点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2√2B.2√3C.2√5D.4√2答案解析解析关闭椭圆𝑥25+𝑦23=1的焦点坐标在x轴上,a=√5,P是椭圆𝑥25+𝑦23=1上的动点,由椭圆的定义可知,P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2√5.答案解析关闭C6第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2341563.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),上顶点为B,若直线y=𝑐𝑏x与FB平行,则椭圆C的离心率为()A.12B.√22C.√32D.√63答案解析解析关闭由题意知,𝑐𝑏=𝑏𝑐,∴b=c.∴a=√2c,∴e=𝑐𝑎=√22,故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测2341564.椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.𝑥22+𝑦2√2=1B.𝑥22+y2=1C.𝑥24+𝑦22=1D.𝑦24+𝑥22=1答案解析解析关闭设椭圆的左、右焦点为F1,F2,上顶点为A,已知正方形边长为2,则|AF1|=|AF2|=a=2,|F1F2|=2√2,c=b=√2,所以椭圆E的标准方程为𝑥24+𝑦22=1.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测2341565.若关于x,y的方程𝑥25-𝑘+𝑦2𝑘-3=1表示椭圆,则k的取值范围是.答案解析解析关闭由已知得5-𝑘0,𝑘-30,5-𝑘≠𝑘-3,解得3k5,且k≠4.答案解析关闭(3,4)∪(4,5)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测2341566.椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率为√32,短轴长为4,则椭圆的方程为.答案解析解析关闭由题意可知e=𝑐𝑎=√32,2b=4,得b=2,∴𝑐𝑎=√32,𝑎2=𝑏2+𝑐2=4+𝑐2,解得𝑎=4,𝑐=2√3,∴椭圆的标准方程为𝑥216+𝑦24=1.答案解析关闭𝑥216+𝑦24=1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3考点1椭圆的定义及其标准方程例1(1)(2019全国Ⅲ,理15)设F1,F2为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.(2)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F(1,0),O为坐标原点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程为.思考如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?𝑥236+𝑦220=1(3,√15)𝑥22+y2=1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3解析:(1)∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×|F1F2|×y0=4y0.又𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×4×82-22=4√15,∴4y0=4√15,解得y0=√15.又点M在椭圆C上,∴𝑥0236+(√15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,√15).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3(2)因为点P在线段ME的垂直平分线上,所以|PF|=|PM|,所以|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|EM|=2√2.所以点P的轨迹为以E,F为焦点的椭圆.设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,则2a=2√2,c=1,所以a=√2,b=1.所以点P的轨迹方程为𝑥22+y2=1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解题心得1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的焦点三角形中的数量关系.求解焦点三角形问题时,注意定义及余弦定理的应用.2.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,A≠B).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3其一般步骤为:①判断:根据已知条件确定椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能;②设:根据①中判断设出所需的未知数或标准方程;③列:根据题意列关于a,b,c的方程或方程组;④解:求解得到椭圆方程.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)过点(√3,-√5),且与椭圆𝑦225+𝑥29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.𝑥220+𝑦24=1B.𝑥22√5+𝑦24=1C.𝑦220+𝑥24=1D.𝑥24+𝑦22√5=1(2)(2017湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为坐标原点,F1,F2为它的两个焦点,离心率为,过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为.√22C𝑥216+𝑦28=1或𝑥28+𝑦216=1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解析：(1)解法一椭圆𝑦225+𝑥29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(√3-0)2+(-√5+4)2+(√3-0)2+(-√5-4)2,解得a=2√5.由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为𝑦220+𝑥24=1.解法二设所求椭圆方程为𝑦225-𝑘+𝑥29-𝑘=1(k9),将点(√3,-√5)的坐标代入可得(-√5)225-𝑘+(√3)29-𝑘=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为𝑦220+𝑥24=1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3(2)由椭圆的定义及△ABF2的周长知4a=16,则a=4.又𝑐𝑎=√22,所以c=√22a=2√2.所以b2=a2-c2=16-8=8.当焦点在x轴上时,椭圆C的方程为𝑥216+𝑦28=1;当焦点在y轴上时,椭圆C的方程为𝑦216+𝑥28=1.综上可知,椭圆C的方程为𝑥216+𝑦28=1或𝑥28+𝑦216=1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点2椭圆的几何性质例2(1)(2019广东深圳高三二模)设点F1,F2分别为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右焦点,点A,B分别为椭圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为()A.√3-12B.√3-13C.√5-12D.√22C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解析:(1)由题意得A(a,0),B(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).∴kAB=0-(-𝑏)𝑎-0=𝑏𝑎,∴𝑘𝑀𝐹1=-𝑎𝑏,∴直线AB的方程为y=𝑏𝑎(x-a),∴直线MF1的方程为y=-𝑎𝑏(x+c).∵MF2⊥F1F2,∴直线MF2的方程为x=c,由𝑦=-𝑎𝑏(𝑥+𝑐),𝑥=𝑐,得M𝑐,-2𝑎𝑐𝑏.∴线段MF1的中点为0,-𝑎𝑐𝑏.由题意得,MF1的中点0,-𝑎𝑐𝑏在直线AB:y=𝑏𝑎(x-a)上.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3∴-𝑎𝑐𝑏=𝑏𝑎·(-a),∴b2=ac,∴c2=a2-b2=a2-ac,∴e2=1-e,∴e=√5-12或e=-√5-12,∵0e1,∴e=√5-12.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3(2)设A,B是椭圆C:𝑥23+𝑦2𝑚=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)思考如何理清椭圆的几何性质之间的内在联系?A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(2)由题意知,当M在短轴顶点时,∠AMB最大.①如图1,当焦点在x轴上,即m3时,a=√3,b=√𝑚,tanα=√3√𝑚≥tan60°=√3,∴0m≤1.②如图2,当焦点在y轴上,即m3时,a=√𝑚,b=√3,tanα=√𝑚√3≥tan60°=√3,∴m≥9.综上,m∈(0,1]∪[9,+∞).故选A.图1图2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.2.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=𝑐𝑎求解.(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=1-𝑏2𝑎2求解.(3)由椭圆的定义求离心率,e=𝑐𝑎=2𝑐