搜索
第八单元考点一考点二核心素养专项提升2.3函数的奇偶性与周期性第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23411.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是奇函数关于对称f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测23412.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23413.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T≠0;②对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23414.函数周期性的常用结论对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.(2)若f(x+a)=1𝑓(𝑥),则T=2a.(3)若f(x+a)=-1𝑓(𝑥),则T=2a.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=x2是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,则f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.()××√√√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234152.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间[a-1,2a]上的偶函数,则a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12答案解析解析关闭由条件可知,a-1+2a=0,即a=13.由题意可知b=0,故a+b=13.故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234153.下列函数为奇函数的是()A.y=√𝑥B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=ex-e-x答案解析解析关闭令y=f(x),选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;选项B,f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),为偶函数;选项C,f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),为偶函数;选项D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234154.(2019山东潍坊期末)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-,则f(-2)=()1𝑥A.72B.32C.-72D.-92答案解析解析关闭f(-2)=-f(2)=-22-12=-72.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234155.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f=.32答案解析解析关闭f32=f-12=f12=12+1=32.答案解析关闭32第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3考点4考点1函数的奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判断函数的奇偶性要注意什么?(2)f(x)=(x+1)1-𝑥1+𝑥;(3)f(x)=𝑥2+𝑥,𝑥0,-𝑥2+𝑥,𝑥0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点4解(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x0时,-x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.(2)由1-𝑥1+𝑥≥0可得函数的定义域为(-1,1].第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4解题心得判断函数奇偶性的方法:(1)定义法.利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法.利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)下列函数为奇函数的是()A.f(x)=2x-B.f(x)=x3sinxC.f(x)=2cosx+1D.f(x)=x2+2x12𝑥答案解析解析关闭对于A选项,函数的定义域为R,f(-x)=2-x-12-𝑥=12𝑥-2x=-f(x),故该函数为奇函数;对于B选项,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)3sin(-x)=x3sinx=f(x),故该函数为偶函数;对于C选项,函数的定义域为R,f(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1=f(x),故该函数为偶函数;对于D选项,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)2+2-x=x2+2-x≠-f(x),f(-x)≠f(x),故该函数既不是奇函数,也不是偶函数.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4(2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案解析解析关闭由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4考点2函数奇偶性的应用例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}(4)已知函数g(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)g(m),求m的取值范围.思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?DC.{2-√7,1,3}D.{-2-√7,1,3}(2)若函数f(x)=xln(x+√𝑎+𝑥2)为偶函数,则a=.(3)设函数f(x)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.12第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)当x0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,易求得g(x)=𝑥2-4𝑥+3,𝑥≥0,-𝑥2-4𝑥+3,𝑥0,当x2-4x+3=0时,可求得x1=1,x2=3;当-x2-4x+3=0时,可求得x3=-2-√7,x4=-2+√7(舍去).故g(x)的零点为1,3,-2-√7,故选D.(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+√𝑎+1)=ln√𝑎+1+1𝑎,f(1)=ln(1+√𝑎+1),∴ln(√𝑎+1+1)-lna=ln(√𝑎+1+1),∴lna=0,∴a=1.经检验,a=1时,f(x)为偶函数第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4(3)f(x)=1+2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,令g(x)=2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,可知g(x)为奇函数.对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min,故f(x)max+f(x)min=M+m=2.(4)解∵g(1-m)g(m),且g(x)为偶函数,∴g(|1-m|)g(|m|).又g(x)在[0,2]上单调递减,∴|1-m||m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得-1≤m12.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4解题心得函数奇偶性应用的类型及解法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4(4)解不等式利用奇偶性与单调性,将抽象函数不等式转化为关于未知数的不等式,进而得出未知数的取值范围.(5)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4调递减,若f(lnx)+fln1