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第八单元考点一考点二核心素养专项提升2.2函数的单调性与最值第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测231增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测231(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数减函数区间D注意:从单调函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是增函数,而在另一个区间上不是增函数.例如,函数y=x2,当x∈[0,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,0]时是减函数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2312.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有;(2)存在x0∈I,使得.(1)对于任意x∈I,都有;(2)存在x0∈I,使得.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)函数单调性的常用结论在区间D上是增函数在区间D上是减函数定义法x1x2⇔f(x1)f(x2)x1x2⇔f(x1)f(x2)图象法从左向右看函数图象从左向右看函数图象导数法导数零导数零运算法增函数+增函数减函数+减函数复合函数法内外层单调性内外层单调性上升的下降的大于小于相同相反第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测231(3)设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0⇔f(x)在D上单调递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0⇔f(x)在D上单调递减.(2)对勾函数f(x)=x+𝑎𝑥(a0)的递增区间为(-∞,-𝑎]和[𝑎,+∞);递减区间为[-𝑎,0)和(0,𝑎],且对勾函数为奇函数.(4)①若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;②若k0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0,则kf(x)与f(x)单调性相反;③函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.1𝑓(𝑥)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数.()(2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+∞).()(3)函数y=f(x)在区间[0,+∞)内为增函数,则函数y=f(x)的递增区间为[0,+∞).()1𝑥(4)设任意x1,x2∈[a,b],则f(x)在区间[a,b]上是增函数⇔𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥20.()(5)函数y=2𝑥-1在区间[2,6]上的最大值为2.()×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234152.下列函数中,定义域为R,且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|答案解析解析关闭对于A,y=e-x=1e𝑥的定义域为R,且为减函数;对于B,y=x3的定义域为R,且为增函数;对于C,y=lnx的定义域为(0,+∞),且为增函数;对于D,y=|x|的定义域为R,在区间[-∞,0)内单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234153.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,20]上具有单调性,则实数k的取值范围是.答案解析解析关闭函数f(x)=4x2-kx-8的图象的对称轴为直线x=𝑘8,由题意,得𝑘8≤5或𝑘8≥20,解得k≤40或k≥160.故实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).答案解析关闭(-∞,40]∪[160,+∞)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234154.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)f的x的取值范围是.13答案解析解析关闭由题意知2𝑥-1≥0,2𝑥-113,解得12≤x23.答案解析关闭12,23第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.函数的最大值为.f(x)=𝑥𝑥-1(x≥2)答案解析解析关闭∵f(x)=1+1𝑥-1在区间[2,+∞)内是减函数,∴f(x)的最大值为2.答案解析关闭2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点1证明或判断函数的单调性例1下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)思考判断函数单调性的基本方法有哪些?𝑥+1答案解析解析关闭A项,y=𝑥+1在区间(-1,+∞)内单调递增,故在区间(0,+∞)内单调递增;B项,y=(x-1)2在区间(-∞,1)内单调递减,在区间[1,+∞)内单调递增,故在区间[0,1)内单调递减,在区间[1,+∞)内单调递增;C项,y=2-x=12𝑥为R上的减函数,故在区间(0,+∞)内单调递减;D项,y=log0.5(x+1)在区间(-1,+∞)内单调递减,故在区间(0,+∞)内单调递减.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)利用已知函数的单调性,如已知f(x),g(x)为增函数,则-f(x)为减函数,f(x)+g(x)为增函数.(2)定义法:一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断.(3)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定它的单调性.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法,基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.(2)可导函数可以利用导数证明.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点33.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在区间(0,1)内是增函数B.奇函数,且在区间(0,1)内是减函数C.偶函数,且在区间(0,1)内是增函数D.偶函数,且在区间(0,1)内是减函数答案解析解析关闭方法一:定义域:x∈(-1,1).∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.又∵f'(x)=11+𝑥+11-𝑥=1-𝑥+(1+𝑥)1-𝑥2=21-𝑥2,x∈(-1,1),∴f'(x)在定义域内恒大于0,∴f(x)在区间(0,1)内是增函数.方法二:奇偶性同方法一,f(x)=ln1+𝑥1-𝑥=ln21-𝑥-1.∵t=21-𝑥-1在区间(-1,1)内单调递增,y=lnt在区间(0,+∞)内单调递增,∴y=f(x)在区间(-1,1)内单调递增,即f(x)在区间(0,1)内是增函数.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点2求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间:(1)y=-x2+2|x|+1;思考求函数的单调区间有哪些方法?(2)y=log12(x2-3x+2).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解(1)由于y=-𝑥2+2𝑥+1,𝑥≥0,-𝑥2-2𝑥+1,𝑥0,即y=-(𝑥-1)2+2,𝑥≥0,-(𝑥+1)2+2,𝑥0.画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3(2)令u=x2-3x+2,则原函数可以看作y=log12u与u=x2-3x+2的复合函数.令u=x2-3x+20,则x1或x2.故函数y=log12(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).因为u=x2-3x+2图象的对称轴为直线x=32,且开口向上,所以u=x2-3x+2在区间(-∞,1)内是减函数,在区间(2,+∞)内是增函数.又y=log12u在区间(0,+∞)内是减函数,所以y=log12(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解题心得求函数的单调区间与确定单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义，求单调区间.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)和(1,+∞)对点训练2(1)下列函数在区间(0,+∞)内是减函数的是()A.f(x)=lnxB.f(x)=e-xC.f(x)=𝑥D.f(x)=-1𝑥答案解析解析关闭(1)根据题意,依次分析选项.对于A,f(x)=lnx,为对数函数,其底数e1,在区间(0,+∞)内是增函数,不符合题意;对于B,f(x)=e-x=1e𝑥,为指数函数,其底数1e1,在区间(0,+∞)内是减函数,符合题意;对于C,f(x)=𝑥=𝑥12,为幂函数,在(0,+∞)内是增函数,不符合题意;对于D,f(x)=-1𝑥=-1𝑥,为反比例函数,在区间(0,+∞)内是增函数,不符合题意.(2)由题意可得f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-3x1时,f'(x)0,所以函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).故选C.答案解析关闭(1)B(2)C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点3函数单调性的应用(多考向)考向一利用函数的单调性求函数的值域或最值思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?例3函数f(x)=1𝑥,𝑥≥1,-𝑥2+2,𝑥1的最大值为.答案解析解析关闭当x≥1时,函数f(x)=1𝑥为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.答案