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第八单元考点一考点二核心素养专项提升8.6空间向量及其运算第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线或,则这些向量叫做或,a平行于b记作a∥b.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积(1)两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,其范围是,若a,b=,则向量a,b,记作a⊥b.(2)两个向量的数量积已知两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即a·b=.𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,π2a,b0≤a,b≤π互相垂直|a||b|cosa,ba·b|a||b|cosa,b第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·b共线a=λb(b≠0)垂直a·b=0(a≠0,b≠0)模|a|𝑎12+𝑎22+𝑎32夹角a,b(a≠0,b≠0)cosa,b=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32·𝑏12+𝑏22+𝑏32a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234155.常用结论(1)对空间任一点O,若𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵(x+y=1),则P,A,B三点共线.(2)对空间任一点O,若𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.(3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.()(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).()𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.()××√××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.若x,y∈R,有下列命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.③正确.④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵不正确答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.答案解析解析关闭设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=c,𝐵𝐷=d,由已知条件知|a|=4,|c|=6,|d|=8,a,c=90°,a,d=90°,c,d=60°,|𝐶𝐷|2=|𝐶𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐷|2=|-c+a+d|2=a2+c2+d2-2a·c+2a·d-2c·d=16+36+64-2×6×8×12=68,则|𝐶𝐷|=2√17.答案解析关闭2√17第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为.答案答案关闭25第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),∴M1,12,1,N1,1,12,∴𝐴𝑀=0,12,1,𝐶𝑁=1,0,12,∴cos𝐴𝑀,𝐶𝑁=𝐴𝑀·𝐶𝑁|𝐴𝑀||𝐶𝑁|=12122+12×12+122=25.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.(1)𝐸𝐹·𝐵𝐴;(2)𝐸𝐹·𝐷𝐶;第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-13-知识梳理双基自测23415解设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,𝐴𝐷=c.则|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60°.(1)𝐸𝐹=12𝐵𝐷=12c-12a,𝐵𝐴=-a,𝐷𝐶=b-c,𝐸𝐹·𝐵𝐴=12𝑐-12𝑎·(-a)=12a2-12a·c=14.(2)𝐸𝐹·𝐷𝐶=12(c-a)·(b-c)=12(b·c-a·b-c2+a·c)=-14.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-14-知识梳理双基自测23415(3)𝐸𝐺=𝐸𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐺=12a+b-a+12c-12b=-12a+12b+12c,|𝐸𝐺|2=14a2+14b2+14c2-12a·b+12b·c-12c·a=12,则|𝐸𝐺|=√22.(4)𝐴𝐺=12b+12c,𝐶𝐸=𝐶𝐴+𝐴𝐸=-b+12a,cos𝐴𝐺,𝐶𝐸=𝐴𝐺·𝐶𝐸|𝐴𝐺||𝐶𝐸|=-23,因为异面直线所成角的范围是0,π2,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点1空间向量的线性运算例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设𝐴𝐴1=a,𝐴𝐵=b,𝐴𝐷=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)𝐴𝑃;(2)𝐴1𝑁;(3)𝑀𝑃+𝑁𝐶1.思考如何利用空间向量的线性运算表示所需向量?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解(1)∵P是C1D1的中点,∴𝐴𝑃=𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1+𝐷1𝑃=a+𝐴𝐷+12𝐷1𝐶1=a+c+12𝐴𝐵=a+c+12b.(2)∵N是BC的中点,∴𝐴1𝑁=𝐴1𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁=-a+b+12𝐵𝐶=-a+b+12𝐴𝐷=-a+b+12c.(3)∵M是AA1的中点,∴𝑀𝑃=𝑀𝐴+𝐴𝑃=12𝐴1𝐴+𝐴𝑃=-12a+𝑎+𝑐+12𝑏=12a+12b+c.又𝑁𝐶1=𝑁𝐶+𝐶𝐶1=12𝐵𝐶+𝐴𝐴1=12𝐴𝐷+𝐴𝐴1=12c+a,∴𝑀𝑃+𝑁𝐶1=12𝑎+12𝑏+𝑐+𝑎+12𝑐=32a+12b+32c.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练1在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶表示𝑂𝐺,𝑀𝐺.解𝑂𝐺=𝑂𝐴+𝐴𝐺=𝑂𝐴+23𝐴𝑁=𝑂𝐴+23(𝑂𝑁−𝑂𝐴)=𝑂𝐴+2312(𝑂𝐵+𝑂𝐶)-𝑂𝐴=13𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶.𝑀𝐺=𝑂𝐺−𝑂𝑀=𝑂𝐺−12𝑂𝐴=13𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶−12𝑂𝐴=-16𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点2共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共线定理、共面定理有哪些应用?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3证明(1)连接BG,EG,则𝐸𝐺=𝐸𝐵+𝐵𝐺=𝐸𝐵+12(𝐵𝐶+𝐵𝐷)=𝐸𝐵+𝐵𝐹+12(𝐴𝐷−𝐴𝐵)=𝐸𝐹+𝐴𝐻−𝐴𝐸=𝐸𝐹+𝐸𝐻,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)因为𝐸𝐻=𝐴𝐻−𝐴𝐸=12𝐴𝐷−12𝐴𝐵=12(𝐴𝐷−𝐴𝐵)=12𝐵𝐷,又E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3解题心得1.证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明𝐴𝐵,𝐴𝐶共线,亦即证明𝐴𝐵=λ𝐴𝐶(λ≠0).2.证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明𝑃𝐴=x𝑃𝐵+y𝑃𝐶,或对空间任一点O,有𝑂𝐴=𝑂𝑃+x𝑃𝐵+y𝑃𝐶,或𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足𝐴𝑀=k𝐴𝐶1,𝐵𝑁=k𝐵𝐶(0≤k≤1).(1)向量𝑀𝑁是否与向量𝐴𝐵,𝐴𝐴1共面?(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解(1)∵𝐴𝑀=k𝐴𝐶1,𝐵𝑁=k𝐵𝐶,∴𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁=k𝐶1𝐴+𝐴𝐵+k𝐵𝐶=k(𝐶1𝐴+𝐵𝐶)+𝐴𝐵=k(𝐶1𝐴+𝐵1𝐶1)+𝐴𝐵=k𝐵1𝐴+𝐴𝐵=�