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-1-10.2.1复数的加法与减法课标阐释思维脉络1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义,能够通过直观想象去解题.课前篇自主预习一、复数的加法与减法的运算法则1.思考(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?提示:是复数,唯一确定.(2)若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2?提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.课前篇自主预习2.填空(1)复数的加、减法法则一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数.一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(2)复数加法运算律复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①复数加法运算符合实数加法的运算律.()②复数与复数相加减后结果只能是实数.()③一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数.()答案:①√②×③√(2)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于()A.8iB.6C.6+8iD.6-8i答案:B(3)已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i答案:D课前篇自主预习二、复数加法、减法的几何意义1.思考(1)复数加法、减法的几何意义如何用文字叙述?提示:复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.复数的减法可按照向量的减法来进行,这是复数减法的几何意义.(2)复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例说明.提示:①设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.②|z-z1|=r(r0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.③|z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.课前篇自主预习2.填空(1)复数加法、减法的几何意义如果复数z1,z2对应的向量分别为𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,则当𝑂𝑍1与𝑂𝑍2不共线时,以OZ1,OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是𝑂𝑍,如图所示.课前篇自主预习(2)性质由复数加法、减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|如果复数z1,z2对应的向量分别为𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,设点Z满足𝑂𝑍=𝑍2𝑍1,则z1-z2所对应的向量就是𝑂𝑍,如图所示.课前篇自主预习3.做一做(1)在复平面内,复数1+i与1+3i分别对应向量𝑂𝐴和𝑂𝐵,其中O为坐标原点,则|𝐴𝐵|等于()A.√2B.2C.√10D.4答案:B(2)已知向量𝑂𝑍1对应的复数是5-4i,向量𝑂𝑍2对应的复数是-5+4i,则𝑂𝑍1+𝑂𝑍2对应的复数是.解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.答案:0课前篇自主预习(3)若在复平面上的▱ABCD中,𝐴𝐶对应的复数为6+8i,𝐵𝐷对应的复数为-4+6i,则𝐷𝐴对应的复数是.解析:由复数加、减法的几何意义可得𝐷𝐴=12(𝐶𝐴−𝐵𝐷),其对应的复数为12(-6-8i+4-6i)=-1-7i.答案:-1-7i课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的加法、减法运算例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈R).解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟复数的加法、减法运算(1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;(2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数;(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1计算:(1)(-√2+√3i)-[(√3−√2)+(√3+√2)i];(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i](a,b∈R);(3)(i2+i)+|√3-i|+(i-2).解:(1)(-√2+√3i)-[(√3−√2)+(√3+√2)i]=-√2-(√3−√2)+[√3-(√3+√2)]i=-√3−√2i.(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i]=(a+b)-(a-b)+[(a-b)+(a+b)]i=2b+2ai.(3)(i2+i)+|√3-i|+(i-2)=(-1+i)+(-1)2+(√3)2+(-2+i)=-1+i+2-2+i=-1+2i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数加法、减法运算的几何意义例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i,-1+3i.试求:(1)𝐴𝐷对应的复数;(2)𝐷𝐵对应的复数;(3)点C对应的复数.解:(1)设坐标原点为O,则有𝐴𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐴,所以𝐴𝐷对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i.(2)𝐷𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐷,所以𝐷𝐵对应的复数为(4+3i)-(-1+3i)=5.(3)由于四边形ABCD是平行四边形,所以𝐴𝐷=𝐵𝐶.由(1)知𝐵𝐶=-2+2i,而𝐵𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐵,所以𝑂𝐶对应的复数为(-2+2i)+(4+3i)=2+5i,这就是点C对应的复数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).𝐴𝐵课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.解:如图所示.𝐴𝐶对应复数z3-z1,𝐴𝐵对应复数z2-z1,𝐴𝐷对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义,得𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐶,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.∴AD的长为|𝐴𝐷|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2√10.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()A.1B.12C.2D.√5解析:如图,设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.解:如图所示,√3|𝑂𝑀|=(-√3)2+(-1)2=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.反思感悟1.|z1-z2|表示复平面内,复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的距离,在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式;2.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若本例题(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.解:因为|z|=1且z∈C,作图如下:所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.√2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.解:设z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,𝑂𝑍,因为|z1|=1,|z2|=2,所以|𝑂𝑍1|=1,|𝑂𝑍2|=2,𝑂𝑍=𝑂𝑍1+2𝑂𝑍2.由向量的加法法则可知,当向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2方向相同时,𝑂𝑍=𝑂𝑍1+2𝑂𝑍2的模最大,最大值为|𝑂𝑍|=|𝑂𝑍1|+2|𝑂𝑍2|=5,所以|z1+2z2|的最大值为5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了“数学探索”的核心素养典例已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形:(1)|z+1+i|=1;(2)|z-1|=|z+2i|.解:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用(1)判断点的集合.(2)利用几何知识解决代数问题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B.答案:B2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|=()A.1B.√2C.√3D.√5解析:由z-2i=1,得z=1+2i,∴|z|=√12+22=√5.故选D.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=,y=.解析:x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i∴𝑥+4=𝑦-1,𝑥+𝑦=3𝑥-1,解得𝑥=6,𝑦=11.答案:611课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.如果一个复数与它的模的和为5+√3i,那么这个复数是.解析:设这个复数为x+yi(x,y∈R)∴x+yi+𝑥2+𝑦2=5+√3i,∴𝑥+𝑥2+𝑦2=5,𝑦=√3,∴𝑥=115,𝑦=√3,∴x+yi=115+√3i.答案:115+√3i课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.计算:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(2)13+12i+(2-i)-43-32i;(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=-7i+5-9