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-1-10.1.2复数的几何意义课标阐释思维脉络1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念.课前篇自主预习一、复平面的概念和复数的几何意义1.思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?提示:不是.(2)象限内的点与复数有何对应关系?提示:第一象限的点对应的复数特点:实部为正,且虚部为正;第二象限的点对应的复数特点:实部为负,且虚部为正;第三象限的点对应的复数特点:实部为负,且虚部为负;第四象限的点对应的复数特点:实部为正,且虚部为负.课前篇自主预习2.填空(1)复平面的概念如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.课前篇自主预习(2)复数的几何意义一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔点Z(a,b).这是复数的一种几何意义.复数还有另外一种几何意义:在平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点,Z为终点的向量𝑂𝑍,所以复数也可用向量𝑂𝑍来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量𝑂𝑍=(a,b).这是复数的另一种几何意义.课前篇自主预习如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量𝑂𝑍由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量𝑂𝑍唯一确定.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.()②在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()③复数的模一定是正实数.()答案:①√②×③×(2)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.答案:C课前篇自主预习(3)已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)答案:A(4)向量a=(1,-2)所对应的复数是()A.z=1+2iB.z=1-2iC.z=-1+2iD.z=-2+i答案:B课前篇自主预习二、复数的模、共轭复数1.思考复数的模的几何意义是什么?提示:复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:①满足条件|z|=r的点Z的集合为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|r表示圆的内部,|z|r表示圆的外部;②满足条件|z-z0|=r的点Z的集合为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|r表示圆的内部,|z-z0|r表示圆的外部.课前篇自主预习2.填空(1)共轭复数一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=a-bi.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.结论:①设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则a.z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.b.z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d≠0.②任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z=𝑧,则z∈R.③复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即𝑧=z.𝑧𝑧课前篇自主预习(2)复数的模一般地,向量𝑂𝑍=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=√𝑎2+𝑏2.可以看出,当b=0时,|z|=√𝑎2=|a|,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.如图所示,向量𝑂𝑍的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=√𝑎2+𝑏2(r≥0,r∈R)一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|𝑧|.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()②若z1,z2∈C,且z1+z2=0,则z1=z2=0.()③两个共轭虚数的差为纯虚数.()④在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称.()答案:①×②×③√④√课前篇自主预习(2)已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为()A.1或3B.1C.3D.2解析:依题意可得(𝑚-3)2+(𝑚-1)2=2,解得m=1或3,故选A.答案:A(3)已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=.答案:√5(4)复数z=4+5i的共轭复数是.答案:4-5i课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数与点的对应例1已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限;(3)在直线y=x上.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1).(1)若z对应的点在实轴上,则有2a-1=0,解得a=12;(2)若z对应的点在第三象限,则有𝑎2-10,2𝑎-10,解得-1a12,即a的范围为-1,12;(3)若z对应的点在直线y=x上,则有2a-1=a2-1,解得a=0或a=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测例2试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.(1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5.解:(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.(2)复数对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).(3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.(4)复数对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.2.确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上.分别求实数m的取值范围.解:复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.(2)由题意得𝑚2-𝑚-20,𝑚2-3𝑚+20,∴-1𝑚2,𝑚2或𝑚1,∴-1m1.即m的取值范围为(-1,1).(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.∴m=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数与向量的对应例3向量𝑂𝑍1对应的复数是5-4i,向量𝑂𝑍2对应的复数是-5+4i,则𝑂𝑍1+𝑂𝑍2对应的复数是()A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i解析:因为向量𝑂𝑍1对应的复数是5-4i,向量𝑂𝑍2对应的复数是-5+4i,所以𝑂𝑍1=(5,-4),𝑂𝑍2=(-5,4),所以𝑂𝑍1+𝑂𝑍2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以𝑂𝑍1+𝑂𝑍2对应的复数是0.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟(1)以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.z1=1-i;z2=-12+√32i;z3=-2;z4=2+2i.解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2-12,√32,Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量𝑂𝑍1=(1,-1),𝑂𝑍2=-12,√32,𝑂𝑍3=(-2,0),𝑂𝑍4=(2,2)分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测各复数的模分别为:|z1|=12+(-1)2=2;|z2|=-122+√322=1;|z3|=(-2)2=2;|z4|=√22+22=2√2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的模及其计算例4(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=√5,则复数z=()A.1+2iB.-1-2iC.±1±2iD.1+2i或-1-2i解析:依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=√5得√𝑎2+4𝑎2=√5,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1||z2|,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)解析:因为|z1|=√𝑎2+4,|z2|=√4+1=√5,所以√𝑎2+4√5,即a2+45,所以a21,即-1a1.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离;2.求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解;3.若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等;4.两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3(1)若复数z=2𝑎-1𝑎+2+(a2-a-6)i是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为.解析:∵z为实数,∴a2-a-6=0,∴a=-2或a=3.当a=-2时,z无意义.当a=3时,∴z1=2-5i,∴|z1|=√29.答案:√29课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:∵z1=6+8i,z2=-12−√2i,∴|z1|=√62+82=10,|z2|=-122+(-√2)2=32.∵1032,∴|z1||z2|.(2)求复数z1=6+8i与z2=-12−√2i的模,并比较它们的模的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测共轭复数及其应用例5已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.思路分析根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.解:i-3x的共轭复数为-3x-i,所以x-1+yi=-3x-i,即𝑥-1=-3𝑥,𝑦=-1,解得𝑥=14,𝑦=-1.反思