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-1-11.4.1直线与平面垂直课标阐释思维脉络1.理解异面直线所成角的含义,结合实例概括出直线与平面垂直的定义,了解直线与平面垂直的性质.2.理解线面垂直的判定定理,能运用文字语言、图形语言和符号语言对该定理加以表述,初步学习运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题.3.理解线面垂直的有关性质,并能运用这些性质进行论证.4.了解点到平面的距离的定义.课前篇自主预习一、直线与直线所成角1.思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定.可能相交、平行或异面.(2)两条垂直的直线必相交吗?提示:不一定.可能相交垂直,也可能异面垂直.课前篇自主预习2.填空一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.课前篇自主预习3.做一做(1)设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.答案:A课前篇自主预习(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为.解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在△AED1中,cos∠AED1=𝐷1𝐸𝐴𝐸=1232=13.答案:13课前篇自主预习二、直线与平面垂直1.思考如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.课前篇自主预习2.填空(1)定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直.(2)充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥α.(3)画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.()②若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α.()③垂直于同一条直线的两条直线平行.()④垂直于同一条直线的两条直线垂直.()⑤垂直于同一个平面的两条直线平行.()⑥垂直于同一条直线的直线和平面平行.()答案:①√②√③×④×⑤√⑥×(2)直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.答案:A课前篇自主预习三、直线与平面垂直的判定定理与推论1.思考(1)世界上的高楼大厦太多了:中国台北的国际金融中心大厦高508米(含天线),马来西亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高451.9米,中国广州的中信广场大厦高391米(如图).问题1:中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系?提示:垂直.问题2:每列玻璃形成的直线是什么位置关系?提示:平行.课前篇自主预习(2)垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求证:α∥β.证明:如图所示,设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α,β相交于直线b,b'和a,a'.因为AA'⊥α,AA'⊥β,所以AA'⊥a,AA'⊥a'.AA',a,a'都在平面δ内,由平面几何知识:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.所以a∥a',所以a'∥α(线面平行的判定定理).同理b'∥α.又因为a'∩b'=A',所以α∥β.课前篇自主预习2.填空(1)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.(2)结论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(3)直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.课前篇自主预习3.做一做(1)下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.②C.②④D.①②④解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.答案:C课前篇自主预习(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.课前篇自主预习四、直线与平面所成的角1.思考斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.课前篇自主预习问题1:图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?提示:不同.问题2:能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?提示:能.问题3:直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?提示:能.课前篇自主预习2.填空(1)定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为斜足).因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].课前篇自主预习3.做一做(1)如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.答案:A12课前篇自主预习(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于.解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案:45°课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测直线与直线所成角例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.√5课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:如图,取AC中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC中点,F是AC中点,∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中,DE=3,又DF=12PA=2,EF=12BC=√5,∴DE2=DF2+EF2.∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC所成的角为90°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°θ≤90°,则θ为所求;若90°θ180°,则180°-θ为所求.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,∴EG12CD,GF12AB,∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角,即∠EGF=30°或150°.∵AB=CD,∴EG=GF,故由等腰△EGF知∠GFE=75°或15°.而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角.从而EF和AB所成的角为75°或15°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测线面垂直的判定例2如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.证明:连接B1C,由题知PC2=2,P𝐵12=3,B1C2=5,所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.同理可得PB1⊥PA.因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测线面垂直性质定理的应用例3如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1,所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.证明:(1)因为四边形ADD1A1为正