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-1-11.3.2直线与平面平行课标阐释思维脉络1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质.2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.课前篇自主预习一、直线与平面平行的判定定理1.思考(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?提示:当直线在平面内时该结论错误.(2)门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.问题1:上述问题中存在着不变的位置关系是指什么?提示:直线与平面平行.问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗?提示:可以,只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.问题3:若一条直线与平面内的直线平行,一定有该直线与平面平行吗?提示:不一定,要强调直线在平面外.课前篇自主预习2.填空语言叙述符号表示图形表示如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行如果l⊄α,m⊂α,l∥m,则l∥α课前篇自主预习3.做一做(1)如下图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,①与直线CD平行的平面是;②与直线CC'平行的平面是;③与直线BC平行的平面是.答案:①平面A'B'C'D',平面A'ABB'②平面A'ABB',平面A'ADD'③平面A'ADD',平面A'B'C'D'(2)一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是.解析:在旋转过程中CD∥AB,由直线与平面平行的判定定理得CD∥α,或CD⊂α.答案:CD∥α,或CD⊂α课前篇自主预习(3)如图所示,E,F分别为三棱锥A-BCD的棱BC,BA上的点,且BE∶BC=BF∶BA=1∶3.求证:EF∥平面ACD.证明:∵BE∶BC=BF∶BA=1∶3,∴EF∥AC.又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD.课前篇自主预习二、直线与平面平行的性质定理1.思考(1)若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的任意一条直线吗?提示:不对.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥平面A1B1C1D1,但AB与A1D1不平行.(2)若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任一直线都不平行,对吗?提示:不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时,α内有无数条直线与直线a平行.课前篇自主预习2.填空语言叙述如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的交线平行符号表示如果l∥α,l⊂β,α∩β=m,则l∥m图形表示课前篇自主预习3.做一做(1)如果直线a∥平面α,b⊂α,那么a与b的关系是()A.相交B.平行或异面C.平行D.异面答案:B(2)直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有()A.0条B.1条C.0或1条D.无数条答案:C课前篇自主预习(3)如图所示,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.证明:如图所示,连接CD.∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面β,又∵AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD,∴AB∥CD.∴四边形ABDC是平行四边形.∴AC=BD.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的判定例1S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且𝐴𝑀𝑆𝑀=𝐷𝑁𝑁𝐵.求证:MN∥平面SBC.证明:如图所示,连接AN并延长交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC.所以𝐷𝑁𝑁𝐵=𝐴𝑁𝑁𝑃,又因为𝐴𝑀𝑆𝑀=𝐷𝑁𝑁𝐵,所以𝐴𝑀𝑆𝑀=𝐴𝑁𝑁𝑃,所以MN∥SP,又MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥平面SBC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.2.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质.(2)利用平行四边形的性质.(3)利用平行线分线段成比例定理.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在四面体A-BCD中,M,N分别是△ABD和△BCD的重心,求证:MN∥平面ADC.证明:如图所示,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,所以BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC,PQ⊂平面ADC,所以MN∥平面ADC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的性质定理的应用例2(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP=,MN与平面PAB的位置关系是.解析:由MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA,∴CN∶NP=CM∶MA=1∶4,又PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB.答案:1∶4MN∥平面PAB课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:因为AB∥平面α,AB⊂平面ABC,平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH,因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,所以AB∥FG,所以EH∥FG,同理由CD∥平面α可证EF∥GH,所以四边形EFGH是平行四边形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例2(2)中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?解:由例2(2)知AB∥EH,则𝐶𝐸𝐴𝐶=𝐸𝐻𝐴𝐵,又CD∥EF,则𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐸𝐹𝐶𝐷,因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出EFGH为菱形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测线面平行性质定理在探索性问题中的应用例3已知在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断D点在AA'上的位置,并给出证明.证明:D点为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC'交于点O,连接OD,易证A'E∥AF,A'E=AF.易知A',E,F,A共面于平面A'EFA,因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中,因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF),所以D点为AA'的中点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤(1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面,然后再证明是否满足条件.(2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据.(3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明:直线l∥平面PAC,证明如下:因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以l∥平面PAC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测1.已知直线l∥平面α,l⊂平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或异面解析:由直线与平面平行的性质定理知l∥m.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可能推出l∥α的是()A.l与α内的一条直线不相交B.l与α内的两条直线不相交C.l与α内的无数条直线不相交D.l与α内的任意一条直线不相交解析:由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的任意一条直线不相交.答案:D3.(多选题)已知直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a,b的位置关系可能是()A.平行B.异面C.相交D.以上都不对答案:ABC课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测4.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=.解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a.所以𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐶.所以EF=𝐴𝐹·𝐵𝐶𝐴𝐶=3×45+3=32.答案:32课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测5.如图,在三棱锥P-ABC中,点O,D分别是AC,PC的中点.求证:OD∥平面PAB.证明:在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点,∴OD∥AP.∵OD⊄平面PAB,AP⊂平面PAB,∴OD∥平面PAB.