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-1-11.1.5旋转体课标阐释思维脉络1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.3.知道这四种几何体的结构特征,能识别和区分这些几何体.4.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与侧面积公式,球的表面积公式.课前篇自主预习一、圆柱、圆锥、圆台1.思考(1)圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗?提示:能,这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形,直角三角形,直角梯形绕一特定轴旋转形成.课前篇自主预习(2)将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来.提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示.课前篇自主预习2.填空(1)圆柱、圆锥、圆台:圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体,其中,旋转轴称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为母线.课前篇自主预习在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积,侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积).课前篇自主预习(2)圆柱、圆锥、圆台的相关特征:圆柱圆锥圆台定义以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图形课前篇自主预习圆柱圆锥圆台表示圆柱O1O圆锥SO圆台O1O底面两底面平行且半径相等的圆面圆面两底面是平行且半径不相等的圆面母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两底面平行且半径相等的圆面平行于底面且半径不相等的圆面与两底面平行且半径不相等的圆面矩形等腰三角形等腰梯形课前篇自主预习(3)几种几何体的表面积公式图形表面积公式圆柱底面积:S底=πr2侧面积:S侧=2πrl表面积:S=2πrl+2πr2圆锥底面积:S底=πr2侧面积:S侧=πrl表面积:S=πrl+πr2圆台上底面面积:S上底=πr'2下底面面积:S下底=πr2侧面积:S侧=πl(r+r')表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.()②用平面去截圆锥,会得到一个圆锥和一个圆台.()答案:(1)①√②×(2)圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.72B.42πC.67πD.72π解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.答案:C课前篇自主预习(3)下列图形中是圆柱的序号为.解析:由圆柱的几何特征知②为圆柱.答案:②课前篇自主预习(4)如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=.解析:在Rt△OSA中,OA=4,所以h=𝑆𝐴2-𝑂𝐴2=52-42=3.答案:3课前篇自主预习二、球1.思考(1)平时我们大家在体育课上玩的篮球与本节将要研究的球的概念一致吗?提示:不一致.因为篮球内部是空的,球是几何体(内部不是空的).球体的表面称之为球面.若篮球皮厚度不计,篮球不是球体,但比较接近球面的定义.(2)实际生活中,飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行?提示:因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行程最短.课前篇自主预习2.填空(1)球的相关概念球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为球.球也是一个旋转体.形成球面的半圆的圆心称为球的球心,连接球面上一点和球心的线段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.由球面的形成过程可看出,球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的截面是一个圆面(圆及其内部).球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.(2)球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.课前篇自主预习3.做一做(1)球的任意两条直径不具有的性质是()A.相交B.互相平分C.互相垂直D.都经过球心解析:球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互相垂直.故选C.答案:C课前篇自主预习(2)有下列说法:①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段;②球的直径是连接球面上任意两点的线段;③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.其中说法正确的序号是.解析:利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.答案:①课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;③空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球.解:①错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.②正确.③错误.应为球面.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练1给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是.解析:①正确;②正确;③不正确,圆台的母线延长相交于一点;④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.答案:①②课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体中的基本计算例2如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3,(1)求圆台O'O的母线长;(2)若圆台上底面的半径为1,求它的表面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测解:设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3cm.∴𝑆𝐴'𝑆𝐴=𝑂'𝐴'𝑂𝐴.∴33+𝑙=𝑟4𝑟=14.解得l=9,即圆台的母线长为9.(2)若圆台上底面的半径为1,则下底面的半径为4,故它的表面积为S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练2一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为hcm,由条件可得圆台上底半径r'=2cm,下底半径r=5cm.由勾股定理得h=122-(5-2)2=3√15(cm).(2)设圆锥的母线长为x,由三角形相似得𝑥-12𝑥=25,解得x=20(cm).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的侧面积或表面积例3(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是()√3A.2πB.3π2C.6πD.9π解析:由题意,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为12×2π×1×2=2π.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(2)圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为()A.4πSB.2πSC.πSD.2√33πS解析:设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=πr2,又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(3)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)解:如图,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角180°,所以c=π·SA.又c=2π×10=20π,所以SA=20cm.同理SB=40cm,所以AB=SB-SA=20(cm).S表面积=S侧+S上底+S下底=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2)所以圆台的表面积是1100πcm2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于()A.15B.15πC.24πD.30π解析:S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(2)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为()A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)解析:圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(3)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为()A.81πB.100πC.14πD.169π解析:圆台的轴截面如图,设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2.所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的截面与侧面展开例4已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm,2cm,截得圆台的圆锥的母线长为12cm,求圆台的母线长.解:如图是圆台的轴截面,由题意知AO=2cm,A'O'=1cm,SA=12cm.由𝐴'𝑂'𝐴𝑂=𝑆𝐴'𝑆𝐴,得SA'=𝐴'𝑂'𝐴𝑂·SA=12×12=6(cm).所以AA'=SA-SA'=12-6=6(cm).所以圆台的母线长为6cm.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测延伸探究本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇环(如图).(1)求扇环的圆心角;(2)求扇环的面积.解:(1)由例题解析知,扇形SA'B'的𝐴'𝐵'的长为2π×1=2π,半径SA'=6,所以圆心角α=2π6=π3.(2)扇环面积S扇环=S扇形SAB-S扇形SA'B'=16(π×122-π×62)=18π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练4圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.解:圆台的轴截面如图所示,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心,过D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3.因为DE=2EF