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-1-11.1.2构成空间几何体的基本元素课标阐释思维脉络1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.2.理解构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.3.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.4.逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言、符号语言、图形语言以及这三种语言之间的相互转化.课前篇自主预习一、空间中的点、线、面1.思考宁静的湖面、海面;生活中的课桌面、黑板面;一望无垠的草原给你什么样的感觉?问题1:生活中的平面有大小之分吗?提示:有.问题2:几何中的“平面”是怎样的?提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.课前篇自主预习2.填空(1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也称为“体”),包围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人“点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨迹可以是体.课前篇自主预习(3)一些文字语言与数学符号的对应关系:文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l,m相交于点Al∩m=A平面α,β相交于直线lα∩β=l课前篇自主预习3.做一做(1)如图,图①的平面可表示为平面α、平面ABC、平面ABD或平面ABCD.(2)图①中,A∈AB,B∈AB,C∉AB,(3)图②中,E∈EF,E∈AB,则AB∩EF=E.EF⊂α,EF⊂β,则α∩β=EF.课前篇自主预习二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系1.思考同一个平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行.这一结论可以推广到空间中的两条直线吗?提示:不能,还存在异面的情况,即不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.课前篇自主预习2.填空(1)空间中点与直线的位置关系.点𝐴在直线𝑙上:记作𝐴∈𝑙,点𝐵不在直线𝑙上:记作𝐵∉𝑙.(2)空间中直线与直线的位置关系.共面直线相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点平行直线:在同一平面内,没有公共点异面直线:一般地,空间中的两条直线,可以既不平行,也不相交,此时称这两条直线异面.课前篇自主预习温馨提示:不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图所示,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①没有公共点的两条直线是平行直线.()②互相垂直的两条直线是相交直线.()③既不平行又不相交的两条直线是异面直线.()④不在同一平面内的两条直线是异面直线.()解析:异面直线既不平行,也不相交,故①错误.③正确;互相垂直不一定相交,因为有异面垂直,故②错误;不在同一平面内的两条直线相交、平行或异面,故④错误.答案:①×②×③√④×课前篇自主预习(2)若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面解析:若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.答案:D课前篇自主预习(3)一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线.答案:B课前篇自主预习三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.思考(1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面.课前篇自主预习2.填空(1)直线在平面内不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面α内,这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l),记作l⊂α;(2)直线在平面外直线m上至少有一个点不在平面α内,这称为直线m在平面α外,记作m⊄α;图中的m与α有且只有一个公共点(称为直线m与平面α相交),一般简写为m∩α=B.课前篇自主预习(3)直线与平面平行一般地,如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则l∩α≠⌀与l∩α=⌀有且只有一种情况成立.而且,当l∩α≠⌀时,要么l⊂α,要么l与α只有一个公共点;当l∩α=⌀时,称直线l与平面α平行,记作l∥α.(4)平面与平面相交如图α与β有公共点,这称为平面α与平面β相交,记作α∩β≠⌀.更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.课前篇自主预习(5)平面与平面平行如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠⌀与α∩β=⌀有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠⌀时,α与β的公共点组成一条直线;当α∩β=⌀时,称平面α与平面β平行,记作α∥β.(6)直线与平面的位置关系列表比较位置关系公共点符号表示图形表示直线a在平面α内无数个公共点a⊂α直线a与平面α相交一个公共点a∩α=A直线a与平面α平行无公共点a∥α课前篇自主预习温馨提示:一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内,切勿画出来;直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.课前篇自主预习(7)两个平面的位置关系列表比较位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行α∥β无公共点两平面相交α∩β=l有无数个公共点,这些点在一条直线上温馨提示:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.()②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.()解析:①中当直线l与平面α相交时,也满足条件,但此时l不平行于α,不正确,②中有另一条在这个平面内的情况,不正确,③正确.答案:①×②×③√课前篇自主预习(2)若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:因为M∈α,M∈β,所以α与β相交于过点M的一条直线.答案:B(3)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有条.解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线平行或相交于一点.答案:1或3课前篇自主预习四、直线与平面垂直1.思考鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.课前篇自主预习问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?提示:不能.问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?提示:直线垂直于平面内的两条相交直线.问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗?提示:不一定.课前篇自主预习2.填空(1)直线与平面垂直的定义①自然语言:一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内的任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面),记作l⊥α.其中,点A称为垂足.②图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.③符号语言:任意a⊂α,都有l⊥a⇒l⊥α.课前篇自主预习(2)投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为投影),线段AB为平面α的垂线段,AB的长为点A到平面α的距离.特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.课前篇自主预习3.做一做直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测文字、图形、符号三种语言的转化例1用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示:如图①所示.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示:如图②所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为.(2)根据右图,填入相应的符号:A平面ABC,A平面BCD,BD平面ABC,平面ABC∩平面ACD=.(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B∉MN,C∈β,C∉MN.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解:(1)M∈a,a⊂α,M∈α(2)∈∉⊄AC(3)如图所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测空间两条直线位置关系的判定例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.解:直线a与c的位置关系有三种情况.直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.反思感悟判定两条直线位置关系的方法判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:对于(1),因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C.对于(2),因为直线A1B⊂平面A1B,B1∈平面A1B,且B1∉直线A1B,直线CB1⊄平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直线AB与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相交.答案:(1)平行(2