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-1-11.1.1空间几何体与斜二测画法课标阐释思维脉络1.了解常见的空间几何体,能将物体抽象出的几何体画出来.2.了解斜二测画法的概念.3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.4.了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.课前篇自主预习一、空间几何体1.思考我们以前接触过的几何体有哪些?提示:正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球.2.填空概念定义空间几何体生活中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.课前篇自主预习3.做一做(1)观察如下图所示的物体,将每个建筑物可抽象出的几何体画出来.提示:课前篇自主预习(2)观察如下图所示的物体,说出几何体的名称.提示:球,圆柱课前篇自主预习二、斜二测画法1.思考问题1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗?提示:为了直观,不一定.问题2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么?提示:平行四边形、椭圆形,为增加直观性.问题3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗?提示:不相同.课前篇自主预习2.填空(1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.(2)一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下:建系→在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,使得它们正方向的夹角为45°或135°平行不变→平面图形中平行或重合于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行或重合于x'轴或y'轴的线段课前篇自主预习长度规则→平面图形中平行或重合于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行或重合于y轴的线段,长度为原来的一半(3)一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下:①在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).②在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于x'轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段.③擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①相等的角,在直观图中仍相等.()②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.()③若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直.()解析:根据斜二测画法的意义及作图知,①②③均错.答案:(1)①×②×③×课前篇自主预习(2)(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变为原来的C.在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同解析:在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°,也可以是135°.C不正确.答案:ABD12课前篇自主预习(3)长方形的直观图可能为下图的哪一个()A.①②B.①②③C.②D.③④解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为②.答案:C(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'=.解析:由斜二测画法,A'=45°或A'=135°.答案:45°或135°课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测水平放置的平面图形的直观图例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=12OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=12GA,H'D'=12HD.(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'[如图③].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O[如图①],画相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°[如图②];(2)在图②中,以O'为中点,在x'轴上截取A'B'=AB;分别过A',B'作y'轴的平行线,截取A'E'=12AE,B'C'=12BC;在y'轴上截取O'D'=12OD.(3)连接E'D',D'C',C'E',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'-D'E'[如图③].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测空间几何体的直观图例2用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解:画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA'、BB'、CC'、DD'.(4)成图.顺次连接A'、B'、C'、D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与x'轴垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一.(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)画轴.如下图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',A'A,B'B,C'C,D'D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如下图②.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测直观图的还原与计算例3如图所示,水平放置的平面图形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图所示,因为A'D'∥B'C',所以AD∥BC.因为∠A'B'C'=45°,所以∠ABC=90°,所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形,其中AD=A'D'=1,BC=B'C'=1+2,AB=2,故梯形ABCD的面积S=1+(1+2)2×2=2+2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究1把例3中的条件改为:如图所示的直角梯形中,∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1,C'D'⊥B'C',求原平面图形的面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在斜二测直观图中(如图①所示),作A'H⊥x轴交于H.∵A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',∠A'B'C'=45°.∴B'H=22,B'C'=B'H+A'D'=1+22.从而在原平面图形ABCD中(如图②所示),AB⊥BC,AB=2,AD=1,BC=1+22.从而直角梯形ABCD的面积S=12×2×1+1+22=2+22.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究2已知正△ABC的边长为1,那么△ABC的平面斜二测直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、②分别为实际图形和直观图.由图②可知AB=A'B'=1,O'C'=12OC=34.在图②中作C'P'⊥A'B'于P'点,则有C'P'=22O'C'=68.所以S△A'B'C'=12A'B'·C'P'=12×1×68=616.答案:616课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积的24倍.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解答平面图形直观图还原问题的易错点典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA'B'C'的面积为,则原梯形的面积为()2A.2B.2C.22D.4课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:方法一:如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.原梯形的高OC是直观图中OC'长度的2倍,OC'的长度是直观图中梯形的高的2倍,由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍,故其面积是梯形OA'B'C'面积的22倍,梯形OA'B'C'的面积为2,所以原梯形的面积是4.故选D.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法二:设直观图梯形OA'B'C'面积为S',原平面梯形OABC的面积S.由S'=24S,得S=22S'=22×2=4,故选D.答案:D易错防范1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC'的长度的2倍,OC'长度是直观图中梯形的高的倍,此处易出错.2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积2S'与原图形面积S满足S'=24S.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是()A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条直交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线,故选项D错误。答案:B课堂篇探究学习