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-1-9.1.2余弦定理课标阐释思维脉络1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3.熟练掌握余弦定理及变形形式,能用余弦定理解三角形.4.能应用余弦定理判断三角形形状.5.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.课前篇自主预习一、余弦定理及其证明1.思考(1)余弦定理是如何证明的?提示:证法1课本使用了向量的方法推导出了余弦定理,如图,设a=𝐶𝐵,b=𝐶𝐴,c=𝐵𝐴,则c=b-a,所以|c|2=c·c=(b-a)2=a2-2a·b+b2=a2-2|a||b|cosC+b2,所以c2=a2+b2-2abcosC.课前篇自主预习证法2(勾股定理法)在△ABC中,已知边a,b及角C,求边c的长.如果C=90°,那么可以用勾股定理求c的长;如果C≠90°,那么是否仍可以用勾股定理来解呢?很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算.当C为锐角时(图①),高AD把△ABC分成两个直角三角形△ADB和△ADC;当C为钝角时(图②),作高AD,则构造了两个直角三角形ADB和ADC,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC).①②AD=bsinC,DC=bcosC,BD=a-bcosC.在Rt△ADB中,运用勾股定理,得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2=a2+b2-2abcosC.同理可得b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.课前篇自主预习证法3利用坐标法证明如图,建立直角坐标系,则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)(写出三点的坐标).所以a=BC=(𝑐cos𝐴-𝑏)2+(𝑐sin𝐴-0)2=𝑐2-2𝑏𝑐cos𝐴+𝑏2,所以a2=b2+c2-2bccosA.课前篇自主预习证法4(用正弦定理证明)因为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.所以b2+c2-2bccosA=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinB·sinCcosBcosC]=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]=4R2[sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sinBsinC·cosBcosC]=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.课前篇自主预习(2)勾股定理和余弦定理的联系与区别?提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系,是余弦定理的特例.课前篇自主预习2.填空余弦定理的表示及其推论文字语言三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍符合语言a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC推论cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①余弦定理只适用于锐角三角形.()②余弦定理不适用于钝角三角形.()③已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了.()④已知三边,则这个三角形确定了.()解析:余弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;根据余弦定理,已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形确定了,故③④正确.答案:①×②×③④课前篇自主预习(2)一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-35,则三角形的另一边长为()A.52B.213C.16D.4解析:设另一边长为x,则x2=52+32-2×5×3×-35=52,所以x=213.答案:B(3)在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=.解析:由题意知,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-𝑏𝑐2𝑏𝑐=-12,又A∈(0,π),所以A=2π3.答案:2π3课前篇自主预习(4)在△ABC中,AB=4,BC=3,B=60°,则AC等于.解析:由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接利用余弦定理求得边AC,即AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=16+9-2×4×3×12=13,所以AC=13.答案:13课前篇自主预习二、用余弦定理解三角形的问题1.思考(1)已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法?提示:不妨设已知a,b,A,方法一:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵可求得sinB,进而求得B,再利用三角形内角和定理求得C,最后求得边c.方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得边c,而后由余弦或正弦定理求得B,C.课前篇自主预习(2)使用余弦定理有哪些注意事项?提示:①使用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用定理的推论.②余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.③余弦定理及其推论将用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.④要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的应用.课前篇自主预习⑤利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角.⑥已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2bccosA.此时,边c的解的个数对应三角形解的个数.⑦在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.⑧利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.课前篇自主预习2.填空利用余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知两边及夹角解三角形;(2)已知三边解三角形.课前篇自主预习3.做一做(1)在△ABC中,已知A=30°,3a=3b=12,则c的值为()A.4B.8C.4或8D.无解解析:由3a=3b=12,得a=4,b=43,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.答案:C课前篇自主预习(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析:因为(a2+c2-b2)tanB=3ac,所以𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐tanB=32,即cosBtanB=32,sinB=32,所以B=π3或2π3.答案:D课前篇自主预习(3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是.解析:设第三个角为θ,由于875,故θ的对边长为7,由余弦定理,得cosθ=52+82-722×5×8=12.所以θ=60°,故另外两角和为180°-60°=120°.答案:120°课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知两边和一角解三角形例1在△ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,解三角形.解:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,则2=3+c2-23×22×c,即c2-6c+1=0,解得c=6+22,或c=6-22.当c=6+22时,由余弦定理得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=2+6+222-32×2×6+22=12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测因为0°A180°,所以A=60°,所以C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.当c=6-22时,由余弦定理得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=2+6-222-32×2×6-22=-12.因为0°A180°,所以A=120°,所以C=180°-(A+B)=180°-(120°+45°)=15°.故c=6+22时,A=60°,C=75°;c=6-22时,A=120°,C=15°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知两边及一角解三角形的方法(1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解.(2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则边c=.解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+1-2×1×1×-12=3,所以c=3.答案:3(2)在△ABC中,若AB=5,AC=5,且cosC=910,则BC=.解析:由余弦定理得(5)2=52+BC2-2×5×BC×910,所以BC2-9BC+20=0,所以BC=4或BC=5.答案:4或5课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知三边解三角形例2在△ABC中,已知a=26,b=6+23,c=43,求角A,B,C.解:在△ABC中,由余弦定理的推论得,cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=(26)2+(6+23)2-(43)22×26×(6+23)=24(3+1)242(3+1)=22.所以C=45°,sinC=22.由正弦定理得,sinA=𝑎sin𝐶𝑐=26×2243=12.因为ac,所以AC,所以A=30°.所以B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.(2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测延伸探究若将条件“a=26,b=6+23,c=43”改为“a∶b∶c=2∶6∶(3+1)”,结果如何?解:方法一:由a∶b∶c=2∶6∶(3+1),令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k0).由余弦定理,得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=6𝑘2+(3+1)2𝑘2-4𝑘22×6𝑘×(3+1)𝑘=22,所以A=45°.cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=4𝑘2+(3+1)2𝑘2-6𝑘22×2𝑘×(3+1)𝑘=12,所以B=60°.所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测方法二:由方法一可得A=45°.由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=6×222=32,所以B=60°或120°.又因为bc,所以B=60°.所以C=180°-45°-60°=75°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练2在△ABC中,a=3,b=4,c=37,求最大角.解:因为3743,边c最大,则角C最大,又cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=32+42-372×3×4=-12.所以最大角C=120°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角形的形状例3在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断△ABC的形状.解:解法一:因为b2sin2C+c2sin2B=2bccosBc