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第三节简谐运动的公式描述目标导航预习导引学习目标1.会用描点法画出简谐运动的运动图象。2.知道振动图象的物理含义,知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。3.了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义。4.知道简谐运动的位移公式为x=Acos(ωx+φ),了解简谐运动位移公式中各量的物理含义。5.了解相位、相位差的物理意义。6.能根据图象求出振动的振幅、周期和频率、相位重点难点1.简谐运动的位移公式及公式中各量的物理含义。2.根据振动图象求解描述简谐运动的物理量目标导航预习导引简谐运动的正弦函数表达式可以写成x=Acos(ωt+φ)。其中A代表简谐运动的振幅;ω叫做简谐运动的圆频率,它与周期的关系是。它和周期、频率都表示简谐运动的快慢;ωt+φ代表简谐运动的相位,其中φ称为初相。从简谐运动的余弦函数表达式中,我们知道(ωt+φ)表示相位,你能据此表达式导出相位的单位吗?ω=2𝜋T提示由ω=2𝜋T及ωt+φ知ωt+φ=2𝜋Tt+φ,其中φ表示角度,2𝜋Tt也表示角度,所以其单位应为角度的单位——弧度。一二知识精要思考探究典题例解迁移应用一、描述简谐运动的物理量简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定。振幅越大,振动系统的能量越大。(2)振幅与位移:振动中的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。(3)振幅与路程:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅。(4)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。一二知识精要思考探究典题例解迁移应用“振子在一个周期内通过四个振幅的路程”是正确的结论。但不可随意推广。如振子在时间t内通过的路程并非一定为×4A,想想看,为什么?答案:当𝑡𝑇为整数或12的奇数倍时,t时间内通过的路程仍为𝑡𝑇×4A,但如果𝑡𝑇不是整数,且余数不为12时,则路程不一定等于𝑡𝑇×4A。譬如,余数为14,则14T内通过的路程,运动起点不同,路程就会不同,只有起点在平衡位置或最大位移处时其通过的路程才等于一个振幅(A)。𝑡𝑇一二知识精要思考探究典题例解迁移应用【例1】如图所示,水平桌面上的木质框架质量为M,悬挂在框架上的轻质弹簧劲度系数为k,悬挂于弹簧下端的铁球的质量为m。让铁球上下振动起来。若木质框架不会离开桌面,则铁球的振幅最大是()A.(𝑀+𝑚)𝑔𝑘B.(𝑀-𝑚)𝑔𝑘C.𝑀𝑔𝑘D.𝑚𝑔𝑘思路分析框架恰好不离开桌面时,框架受桌面的支持力为零,此时对框架进行受力分析,可知弹簧向上的弹力恰等于框架的重力,由此可得弹簧的压缩量。根据振幅的定义,找出平衡位置,则振幅可求。一二知识精要思考探究典题例解迁移应用解析:框架的重力为Mg,只有当铁球处在最高位置、弹簧被压缩、框架受到竖直向上的弹力等于Mg时,框架对桌面的压力才恰好减小为零。根据胡克定律,此时弹簧被压缩Δl=𝑀𝑔𝑘,铁球静止(处于平衡)时,弹簧被拉长Δl0=𝑚𝑔𝑘,振幅是指振子离开平衡位置的最大距离,振幅最大为Amax=Δl+Δl0=(𝑀+𝑚)𝑔𝑘。可见,铁球的振幅只要不大于(𝑀+𝑚)𝑔𝑘,框架就不会离开桌面,选项A正确。答案:A一二知识精要思考探究典题例解迁移应用一二知识精要思考探究典题例解迁移应用有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为()A.1∶1,1∶1B.1∶1,1∶2C.1∶4,1∶4D.1∶2,1∶2答案:B解析:弹簧的压缩量即为振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而对同一振动系统,其周期与振幅无关,故周期之比为1∶1,正确选项为B。一二知识精要思考探究典题例解迁移应用二、简谐运动的表达式简谐运动两种描述方法的比较:(1)简谐运动图象即x-t图象是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。(2)x=Acos(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。(3)两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图象,二是根据振动图象读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。一二知识精要思考探究典题例解迁移应用1.简谐运动的一般表达式为x=Acos(ωt+φ),思考能否用正弦函数表示。答案:简谐运动的表达式也可以用正弦函数表示,本质一样,只是与余弦函数中相位的数值不同,相位差为。2.相位差是表示两个同频率的简谐运动状态不同步程度的物理量,谈谈如何求相位差,并说明你对“超前”和“落后”的理解。答案:简谐运动的过程中相位是周期性变化的,周期为2π。如果两个简谐运动A、B的频率相等,其初相分别是φ1和φ2,当φ2φ1时,它们的相位差是Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1,所以同频率的两个简谐运动的相位差必定等于它们的初相差。若Δφ0,则B振动的相位比A超前Δφ,或A振动的相位比B落后Δφ。π2π3一二知识精要思考探究典题例解迁移应用A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10mB.周期是标量,A、B的周期均为100sC.A振动的频率等于B振动的频率D.A的相位始终比B的相位超前思路分析正确理解简谐运动的表达式中各个字母所代表的物理意义是解题的关键。由简谐运动的表达式我们可以直接读出振动的振幅A、圆频率ω(或周期T和频率f)及初相φ0。【例2】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA=3sin(100t+π2)m,物体B做简谐运动的振动位移xB=5sin(100t+π6)m。则关于A、B的运动,下列说法正确的是()一二知识精要思考探究典题例解迁移应用解析:振幅是标量,A、B的振幅分别是3m、5m,选项A错误;A、B的周期均为T=2π100s=6.28×10-2s,选项B错误;因为TA=TB,所以fA=fB,选项C正确;Δφ=φA0-φB0=π3,选项D正确。答案:CD一二知识精要思考探究典题例解迁移应用一二知识精要思考探究典题例解迁移应用两个简谐运动分别为x1=4asin4π𝑏𝑡+π2,x2=2asin4π𝑏𝑡+3π2。求它们的振幅之比、各自的频率以及它们的相位差。答案:2∶12b2bπ解析:振幅之比𝐴1𝐴2=4𝑎2𝑎=21。它们的频率相同,都是f=𝜔2π=4π𝑏2π=2b。它们的相位差Δφ=φ2-φ1=π。