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电磁感应的综合应用关键能力第2讲电磁感应中的电路问题题型一1.特点:在电磁感应中,切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势,该导体或回路相当于电源,与其他导体构成闭合的电路。因此,电磁感应问题往往又和电路问题联系在一起。解决电磁感应电路问题的关键是把电磁感应的问题等效转换成恒定直流电路,然后利用电路的有关知识解决问题。电磁感应中的电路问题题型一2.电磁感应与电路问题的联系是电源与电路的连接问题,解决问题时要注意整合两部分的知识。正确分析感应电动势及感应电流的方向,产生感应电动势的那部分电路为电源部分,故该部分电路中的电流应为电源内部的电流,而外电路中的电流方向仍是从高电势到低电势;应用欧姆定律分析求解电路时,注意等效电源的内阻对电路的影响;对接在电路中电表的示数要正确进行分析,特别是并联在等效电源两端的电压表,其示数表示外电压,而不是等效电源的电动势,也不是内电压。电磁感应中的电路问题题型一3.解题的基本方法:(1)确定电源,产生感应电流或感应电动势的那部分电路就相当于电源,利用法拉第电磁感应定律确定其电动势的大小,利用楞次定律确定其正、负极。需要强调的是,在电源内部电流是由负极流向正极的,在外部从正极流向外电路,并由负极流入电源。如无感应电流,则可以假设电流存在时的流向。(2)分析电路结构,画出等效电路图。(3)利用电路规律求解,主要有闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功和电热公式。电磁感应中的电路问题题型一答案解析【例1】如图甲所示,空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5T的匀强磁场,有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内,间距L=0.2m,左端连接阻值R=0.4Ω的电阻。质量m=0.1kg的导体棒cd垂直跨接在导轨上,与导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0时刻开始,通过一小型电动机对导体棒施加一个水平向右的牵引力F,使导体棒从静止开始沿导轨方向做加速运动,此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除R以外其余部分的电阻均不计,取重力加速度大小g=10m/s2。(1)若电动机保持恒定功率输出,导体棒的v-t图象如图乙所示(其中OC是曲线,CD是水平直线),已知0~10s内,电阻R产生的热量Q=28J,求:①导体棒达到最大速度vm时牵引力F的大小。②导体棒从静止开始至达到最大速度vm时的位移大小。(2)若电动机保持恒定牵引力F=0.3N,且将电阻换为C=10F的电容器(耐压值足够大),如图丙所示,求t=10s时牵引力的功率。0.45N60m1.5W电磁感应中的电路问题题型一解析(1)①当导体棒达到最大速度后,所受合力为零,沿导轨方向有F-F安-f=0摩擦力f=μmg=0.2N感应电动势E=BLvm,感应电流I=𝐸𝑅，安培力F安=BIL=𝐵2𝐿2𝑣m𝑅=0.25N此时牵引力F=F安+f=0.45N。②变力做功问题不能用功的定义式,在0~10s内牵引力是变力但功率恒定,可根据能量守恒定律求解。电动机的功率P=Fvm=4.5W电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热与克服摩擦力做功产生的内能之和,有Pt=12m𝑣m2+f·x+Q解得位移x=60m。电磁感应中的电路问题题型一解析(2)当金属棒的速度大小为v时,感应电动势E=BLv由C=𝑄𝑈可知,此时电容器极板上的电荷量Q=CU=CE=CBLv设在一小段时间Δt内,可认为导体棒做匀变速运动,速度增加量为Δv，电容器极板上增加的电荷量ΔQ=CBL·Δv根据电流的定义式I=Δ𝑄Δ𝑡=𝐶𝐵𝐿·Δ𝑣Δ𝑡=CBLa对导体棒受力分析,根据牛顿第二定律,有F-f-BIL=ma将I=CBLa代入上式可得a=𝐹-𝑓𝑚+𝐶𝐵2𝐿2=0.5m/s2可知导体棒的加速度与时间无关,为一个定值,即导体棒做匀加速运动在t=10s时,v=at=5m/s,此时的功率P=Fv=1.5W。电磁感应中的电路问题题型一方法对电磁感应电源的理解:(1)电源的正负极可用右手定则或楞次定律判定,要特别注意在内电路中电流由负极到正极。(2)电磁感应电路中的电源与恒定电流的电路中的电源不同,前者是由于导体切割磁感线产生的,公式E=BLv,其大小可能变化,变化情况可根据其运动情况判断;而后者的电源电动势在电路分析中认为是不变的。(3)在电磁感应电路中,相当于电源的导体(或线圈)两端的电压与恒定电流的电路中电源两端的电压一样,等于路端电压,而不等于电动势。(除非切割磁感线的导体或线圈电阻为零)电磁感应中的电路问题题型一答案解析0.2A【变式训练1】(2019贵州贵阳1月自测)如图所示,矩形线圈在0.01s内由原始位置Ⅰ转至位置Ⅱ。已知ad=5×10-2m,ab=20×10-2m,匀强磁场的磁感应强度B=2T,R1=R3=1Ω,R2=R4=3Ω,线圈的电阻r=0.5Ω。求:(1)平均感应电动势。(2)通过各电阻的平均电流。1V题型一解析(1)设线圈在位置Ⅰ时,穿过它的磁通量为Φ1,线圈在位置Ⅱ时,穿过它的磁通量为Φ2,有Φ1=BSsin30°=0.01Wb,Φ2=BS=0.02Wb得ΔΦ=Φ2-Φ1=0.01Wb根据法拉第电磁感应定律可得平均感应电动势E−=Δ𝛷Δ𝑡=1V。(2)将具有感应电动势的线圈等效为电源,其外电路的总电阻R=𝑅1+𝑅22=2Ω根据闭合电路欧姆定律得总电流的平均值I−=E−𝑅+𝑟=0.4A通过各电阻的平均电流𝐼'=12I−=0.2A电磁感应中的电路问题题型一答案解析5m/s2电磁感应中的电路问题【变式训练2】(2018四川成都5月摸底)如图所示,绝缘水平面内固定有一间距d=1m、电阻不计的足够长光滑矩形导轨AKDC,导轨两端接有阻值分别为R1=3Ω和R2=6Ω的定值电阻,矩形区域AKFE、NMCD范围内均有方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,一质量m=0.2kg、电阻r=1Ω的导体棒bc垂直放在导轨上AK与EF之间某处,在方向水平向右、大小F0=2N的恒力作用下由静止开始运动,刚要到达EF时导体棒bc的速度大小v1=3m/s,导体棒bc进入磁场Ⅱ后,导体棒bc中通过的电流始终保持不变,导体棒bc在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好,空气阻力不计。(1)求导体棒bc刚要到达EF时的加速度大小a1。(2)求两磁场边界EF和MN之间的距离L。1.35m题型一解析(1)导体棒bc刚要到达EF时,在磁场中切割磁感线产生的感应电动势E1=Bdv1,经分析可知,此时导体棒bc所受安培力的方向水平向左,由牛顿第二定律,则有F0-BI1d=ma1根据闭合电路的欧姆定律,则有I1=𝐸1𝑅+𝑟上式中R=𝑅1𝑅2𝑅1+𝑅2=2Ω联立解得a1=5m/s2。(2)导体棒bc进入磁场Ⅱ后,受到的安培力与F0平衡,做匀速直线运动,导体棒bc中通过的电流I2保持不变,则有F0=BI2d,其中I2=𝐵𝑑𝑣2𝑅+𝑟设导体棒bc从EF运动到MN的过程中的加速度大小为a2,根据牛顿第二定律,则有F0=ma2导体棒bc在EF、MN之间做匀加速直线运动,则有𝑣22-𝑣12=2a2L联立解得L=1.35m。电磁感应中的电路问题电磁感应中的动力学问题题型二1.特点:感应电流在磁场中受到安培力的作用,因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)。2.解题的基本方法:(1)选择研究对象,即哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统。(2)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向。(3)求回路中的电流大小。(4)分析其受力情况。(5)分析研究对象所受各力的做功情况和合力做功情况,选定所要应用的物理规律。(6)运用物理规律列方程求解。电磁感应中的动力学问题题型二【温馨提示】解决这类问题的关键是通过运动状态的分析,寻找过程中的临界状态,如求速度、加速度的最大值或最小值的条件,思维框架如下所示:导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力合力变化加速度变化速度变化临界状态。电磁感应中的动力学问题题型二答案解析22ℎ𝑔12m𝑣02-5mgh【例2】如图所示,有一光滑的水平导电轨道置于竖直向上的匀强磁场中,导轨由宽度分别为2L、L的两部分组合而成。两导体棒ab、cd分别垂直两导轨水平放置,质量均为m、有效电阻均为R。现给ab一水平向左的初速度v0,导轨电阻不计且足够长,ab、cd最终都做匀速直线运动,已知cd离开宽轨,滑上无磁场的光滑圆弧轨道后上升的最大高度为h,重力加速度为g。从cd开始运动到cd离开磁场这一过程中,求:(1)ab开始运动瞬间cd所受安培力的大小和方向。(2)ab做匀速运动时的速度大小。(3)上述过程中闭合电路中产生的焦耳热。𝐵2𝐿2𝑣0𝑅水平向左电磁感应中的动力学问题题型二解析(1)ab开始运动瞬间,产生的电动势E=BLv0根据闭合电路的欧姆定律可得I=𝐸2𝑅根据右手定则可得电流方向为dbac,根据左手定则可知cd所受安培力方向水平向左,大小F安=BI·2L解得F安=𝐵2𝐿2𝑣0𝑅。(2)设cd滑上无磁场的光滑圆弧轨道时初速度为v1,则有mgh=12m𝑣12cd和ab在导轨上最终做匀速运动时,此时闭合回路的磁通量不变,所以ab棒的速度v2=2v1=22ℎ𝑔。(3)由功能关系,有Q=𝑚𝑣022-12m𝑣12+12m𝑣22得Q=12m𝑣02-5mgh。电磁感应中的动力学问题题型二方法对于电磁感应问题的研究思路有两条:一条从力的角度,重点分析安培力作用下导体棒的平衡问题,根据平衡条件列出方程;另一条从能量角度,分析涉及电磁感应现象的能量转化问题,根据动能定理、功能关系等列方程求解。电磁感应中的动力学问题题型二答案解析【变式训练3】(2018福建福州二模)为了探究电动机转速与弹簧伸长量之间的关系,小明设计了如图所示的装置。半径为l的圆形金属导轨固定在水平面上,一根长也为l、电阻为R的金属棒ab一端与导轨接触良好,另一端固定在圆心处的导电转轴OO'上,由电动机带动旋转。在金属导轨区域内存在磁感应强度大小为B1、方向竖直向下的匀强磁场。另有一质量为m、电阻为R的金属棒cd用轻质弹簧悬挂在竖直平面内,并与固定在竖直平面内的U形导轨保持良好接触,导轨间距为l,底部接阻值也为R的电阻,处于磁感应强度大小为B2、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场中。从圆形金属导轨引出导线和通过电刷从转轴引出导线经开关S与U形导轨连接。当开关S断开,棒cd静止时,弹簧伸长量为x0;当开关S闭合,电动机以某一转速顺时针匀速转动,棒cd再次静止时,弹簧伸长量变为x(不超过弹性限度)。不计其余电阻和摩擦等阻力,求此时:(1)通过棒cd的电流Icd。(2)电动机对该装置的输出功率P。(3)电动机转动角速度ω与弹簧伸长量x之间的函数关系。6𝑚2𝑔2R(x−𝑥0)2𝐵22𝑙2𝑥02𝑚𝑔(𝑥−𝑥0)𝐵2l𝑥06𝑚𝑔𝑅(𝑥−𝑥0)𝐵1𝐵2𝑙3𝑥0题型二解析(1)S断开时,cd棒静止,有mg=kx0S闭合时,cd棒静止,有mg+B2Icdl=kx联立解得Icd=𝑚𝑔(𝑥-𝑥0)𝐵2l𝑥0。(2)回路总电阻R总=R+12R=32R，总电流I=2Icd=2𝑚𝑔(𝑥-𝑥0)𝐵2l𝑥0电动机对该装置的输出功率P=I2R总=6𝑚2𝑔2R(x-𝑥0)2𝐵22𝑙2𝑥02。(3)由法拉第电磁感应定律得E=12B1ωl2回路总电流I=𝐸𝑅总=𝐵1ω𝑙23𝑅联立解得ω=6𝑚𝑔𝑅(𝑥-𝑥0)𝐵1𝐵2𝑙3𝑥0电磁感应中的动力学问题题型二答案解析电磁感应中的动力学问题【变式训练4】(2019广西南宁1月检测)如图甲所示,放置在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L=1m,质量m=1kg的光滑导体棒放在导轨上,导轨左端与阻值R=4Ω的电阻相连,导轨所在位置有磁感应强度大小B=2T的匀强磁场,磁场的方