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带电粒子在磁场中的运动第2讲1必备知识2关键能力1洛伦兹力、洛伦兹力的大小和方向(1)洛伦兹力:磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。(2)洛伦兹力的方向①判定方法:左手定则。掌心——磁感线垂直穿入掌心。四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。拇指——指向洛伦兹力的方向。②方向特点:F⊥B,F⊥v,即F垂直于B和v决定的平面。(3)洛伦兹力的大小①v∥B时,洛伦兹力F=0。(θ=0°或180°)②v⊥B时,洛伦兹力F=qvB。(θ=90°)③v=0时,洛伦兹力F=0。答案B1洛伦兹力、洛伦兹力的大小和方向1.1(2018广东广州10月考试)图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线,其横截面位于正方形的四个顶点上,导线中通有大小相同的电流,方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动,它所受洛伦兹力的方向是()。A.向上B.向下C.向左D.向右2带电粒子在匀强磁场中的运动(1)若v∥B,则带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做匀速直线运动。(2)若v⊥B,则带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。如图所示,带电粒子在磁场中,图甲中粒子做匀速圆周运动,图乙中粒子做匀速直线运动,图丙中粒子做匀速圆周运动。(3)半径和周期公式:(v⊥B)D答案2带电粒子在匀强磁场中的运动2.1(2018云南丽江阶段检测)一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中,若粒子所带电荷量不变,动能逐渐减小,在磁场中运动的轨迹如图所示,则下列有关粒子的运动方向和所带电性的判断正确的是()。A.粒子由a向b运动,带正电B.粒子由a向b运动,带负电C.粒子由b向a运动,带正电D.粒子由b向a运动,带负电AD答案2带电粒子在匀强磁场中的运动2.2(2018福建龙岩质量调研)(多选)如图所示,两个初速度大小相同、方向不同的同种离子a和b,从O点沿垂直磁场的方向进入匀强磁场,最后打到屏P上。不计重力,下列说法正确的有()。A.a、b均带正电B.a在磁场中飞行的时间比b的短C.a在磁场中飞行的路程比b的短D.a在P上的落点与O点的距离比b的近带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一1.带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的分析(1)圆心的确定方法①若已知粒子轨迹上两点的速度方向,则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即圆心,如图甲所示。②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即圆心,如图乙所示。带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一(2)半径的计算方法①由公式求:半径R=𝑚𝑣𝑞𝐵。②由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。(3)时间的计算方法①由圆心角求:t=𝜃2π·T。②由弧长求:t=𝑠𝑣。2.带电粒子在不同边界磁场中的运动(1)直线边界(进出磁场具有对称性,如图甲所示)。甲带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一(2)平行边界(存在临界条件,如图乙所示)。乙(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图丙所示)。丙B答案解析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一【例1】如图甲所示,半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电荷量为q(q0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域,射入点与ab的距离为𝑅2,已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°,则粒子的速率为(不计重力)()。A.𝑞𝐵𝑅2𝑚B.𝑞𝐵𝑅𝑚C.3𝑞𝐵𝑅2𝑚D.2𝑞𝐵𝑅𝑚甲解析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一如图乙所示,粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上,由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°,故圆弧ENM对应的圆心角为60°,所以△EMO2为等边三角形。由于O1D=𝑅2,所以∠EO1D=60°,△O1ME为等边三角形,所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2=O1E=R,由qvB=𝑚𝑣2𝑅,得v=𝑞𝐵𝑅𝑚,B项正确。乙方法带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的分析方法答案解析D带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一【变式训练1】(2018山东济南第二次模拟)如图甲所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场,粒子的带电荷量相同,其中从a点射出的粒子速度v1的方向与MN垂直;从b点射出的粒子速度v2的方向与MN成60°角,设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2,则t1∶t2为(重力不计)()。A.1∶3B.4∶3C.1∶1D.3∶2甲解析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示,可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°,从b点射出的粒子对应的圆心角为60°,由t=θ2π·2π𝑚𝑞𝐵可得t1∶t2=90°∶60°=3∶2,D项正确。乙答案解析BD带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一【变式训练2】(2018贵州贵阳三校联考)(多选)如图甲所示,在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。a处有比荷相等的P、Q两种粒子,P粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场,经时间t1从d点射出磁场,Q粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场,经时间t2垂直cd射出磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用力,则下列说法中正确的是()。A.v1∶v2=1∶2B.v1∶v2=3∶4C.t1∶t2=2∶1D.t1∶t2=3∶1甲解析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一P、Q两粒子的运动轨迹如图乙所示,粒子在磁场中的运行周期T=2π𝑚𝐵𝑞,因为两种粒子的比荷相等,故T1=T2。设正方形的边长为L,则由图知P粒子运行半径r1=𝐿2,运行时间t1=𝑇12,乙粒子运行半径r2=𝐿cos30°,运行时间t2=𝑇26,而r=𝑚𝑣𝐵𝑞,所以v1∶v2=r1∶r2=3∶4,A项错误,B项正确;t1∶t2=3∶1,C项错误,D项正确。乙答案解析BD带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一【变式训练3】(2019福建泉州质量检测)(多选)如图甲所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开,三角形内磁场垂直纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷𝑞𝑚=k,则质子的速度可能为()。甲A.2BkLB.𝐵𝑘𝐿2C.3𝐵𝑘𝐿2D.𝐵𝑘𝐿8解析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题题型一因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图乙所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,所以质子运行的半径r=𝐿𝑛(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m𝑣2𝑟,即v=𝐵𝑞𝑟𝑚=Bk·𝐿𝑛(n=1,2,3,…),B、D两项正确。乙粒子源问题题型二“粒子源”问题可以分为两类,第一类是在同一平面内沿某一方向发射不同速率的同种带电粒子;第二类是在同一平面内,沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子。第一类粒子源,能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子(如电子),这些带电粒子垂直于磁感线射入布满空间的匀强磁场,做同方向旋转的匀速圆周运动,有下列特点(如图甲):甲(1)各带电粒子的圆轨迹有一个公共切点,且各圆的圆心分布在同一条直线上。(2)各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。(3)速率大的带电粒子所走过的路程大,对应大圆。粒子源问题题型二第二类粒子源,能在同一平面内,沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子,这些带电粒子垂直于磁感线射入布满空间的匀强磁场,做同方向旋转的匀速圆周运动,各带电粒子的圆轨迹半径相等,运动周期相等。这类问题可以归结为这样一个几何模型:如图乙所示,有一半径为R的圆,绕圆周上一个定点P转动一周,圆平面扫过的面积就是以P为圆心,以2R为半径的圆面积,圆上任意一点都绕P点转动了一周。要准确把握这一几何模型,需要认识和区分三种圆。粒子源问题题型二(1)轨迹圆:每个粒子在磁场中均以半径R1=𝑚𝑣𝑞𝐵做匀速圆周运动,随着入射点P处速度方向的改变,这些轨迹圆可以看作是以点P为圆心旋转构成的一系列的动态旋转圆。(2)圆心圆:在轨迹圆旋转过程中,这些轨迹圆的圆心的轨迹在以P为圆心,半径与轨迹圆半径相等,即R2=𝑚𝑣𝑞𝐵的圆上,如图乙中虚线所示。(3)边界圆:在轨迹圆旋转过程中,各轨迹圆上离圆心最远的点构成的轨迹也是一个圆,这个圆也是粒子能够到达的区域,其圆心是P,半径为轨迹圆半径的两倍,即R3=2𝑚𝑣𝑞𝐵,如图乙中外围黑体实线所示。乙答案解析粒子源问题题型二【例2】(2018湖南衡阳阶段检测)如图甲所示,真空中存在匀强磁场,磁场方向垂直于图中纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块足够大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度均为v=3.0×106m/s,已知α粒子的比荷𝑞𝑚=5.0×107C/kg,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度。甲20cm解析粒子源问题题型二α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径,有qvB=m𝑣2𝑅由此得R=𝑚𝑣𝑞𝐵代入数值得R=10cm,可见2RlR如图乙所示,因朝不同方向发射的α粒子的圆轨道都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点,为确定P1点的位置,可作平行于ab的直线cd,cd到ab的距离为R,以S为圆心,R为半径,作弧交cd于Q点,过Q点作ab的垂线,它与ab的交点即P1,由图乙中几何关系得NP1=𝑅2-(l-R)2乙解析粒子源问题题型二NP1=𝑅2-(l-R)2再考虑N的右侧,任何α粒子在运动过程中离S的距离不可能超过2R,所以右侧的最远点是与S在同一直径上的一点,设为P2由图乙中几何关系得NP2=(2𝑅)2-𝑙2所求长度为P1P2=NP1+NP2解得P1P2=20cm。方法粒子源问题题型二用动圆法解“粒子源”的临界问题(1)定圆旋转法当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定,但射入的方向变化时,粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时,可以以入射点为定点,将轨迹圆旋转,作出一系列轨迹,从而探索出临界条件。如图甲所示为粒子进入单边界磁场时的情景。(2)动态放缩法当带电粒子射入磁场的方向确定,但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时,粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化。在确定粒子运动的临界情景时,可以以入射点为定点,将轨道半径放缩,作出一系列的轨迹,从而探索出临界条件。如图乙所示,粒子进入长方形边界OACD从CD边射出的临界情景为②和④。甲答案解析B粒子源问题题型二【变式训练4】(2018山东日照开学检测)如图甲所示,圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上,这段圆弧的弧长是圆形磁场周长的13。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2,结果相应的弧长变为原来的一半,则𝐵2𝐵1等于()。A.2B.3C.2D.3甲解析粒子源问题题型二当粒子做圆周运动的半径小于或等于磁场区域半径时,粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径。如图乙所示,当粒子从13圆周射出磁场时,粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ,粒子都从圆弧PQ之间射出,因此轨道半径r1=Rcos30°=32R;若粒子射出的圆弧对应弧长为原来的一半,即16周长,对应的弦长为R,即粒子运动轨迹直径等于磁场区域半径R,半